最长公共子序列 & 最长公共子串的区别：
找两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的。而最长公共子序列则并不要求连续。
一、最长连续公共子串题目: 找出两个字符串的最长连续公共子串
例: abccade 和 dgcadde ==> cad
思路：动态规划
考虑两种情况：
M[i+1][j+1]=0, s1[i+1] != s2[j+1]
M[i+1][j+1]=M[i][j]+1, s1[i+1] == s2[j+1]
时间复杂度O(M*N)
空间复杂度O(M*N)
代码如下：
def getMaxSubStr(s1,s2):
len_s1 = len(s1)
len_s2 = len(s2)
sb = ''
maxs = 0 #记录最长公共子串的长度
maxI = 0 #记录最长公共子串的最后一个字符的位置
M = [([None] * (len_s2+1)) for i in range(len_s1+1)]
i = 0
while i < len_s1 + 1:
M[i][0] = 0
i += 1
j = 0
while j < len_s2 + 1:
M[0][j] = 0
j += 1
#通过利用递归公式填写新建的二维数组
i = 1
while i < len_s1 + 1:
j = 1
while j < len_s2 + 1:
if list(s1)[i-1] == list(s2)[j-1]:
M[i][j] = M[i-1][j-1] + 1
if M[i][j] > maxs:
maxs = M[i][j]
maxI = i
else:
M[i][j] = 0
j += 1
i += 1
i = maxI - maxs
while i < maxI:
sb = sb + list(s1)[i]
i += 1
return sb
s1 = 'abcdefg'
s2 = 'bdeg'
res = getMaxSubStr(s1,s2)
print(res)
结果如下：
二、最长公共子序列(非必须连续)
题目: 找出两个字符串的最长公共子序列（非连续）
举例: abcbdab和bdcaba ==》 bcba
思路：动态规划，
M[i][j]=0, i=0,j=0
M[i][j]=M[i-1][j-1] + 1 i,j>0,xi=yi
M[i][j]=max{M[i-1][j],M[i][j-1]} i,j>0,xi!=yi
S[i][j]=1 s1[i] == s2[j]
S[i][j]=2 s1[i] != s2[j] 且 M[i-1][j] >=M[i][j-1]
S[i][j]=3 s1[i] != s2[j] 且 M[i-1][j] < M[i][j-1]
代码如下：
def LCS(s1,s2):
#s1行，s2列
len_s1 = len(s1)
len_s2 = len(s2)
sb = ''
M = [([None] * (len_s2+1)) for i in range(len_s1+1)]
S = [([None] * (len_s2+1)) for i in range(len_s1+1)]
i = 0
while i < len_s1 + 1:
M[i][0] = 0
S[i][0] = 0
i += 1
j = 0
while j < len_s2 + 1:
M[0][j] = 0
S[0][j] = 0
j += 1
#通过利用递归公式填写新建的二维数组
i = 1
while i < len_s1 + 1:
j = 1
while j < len_s2 + 1:
if s1[i-1] == s2[j-1]:
M[i][j] = M[i-1][j-1] + 1
S[i][j] = 1
elif M[i-1][j] >= M[i][j-1]:
M[i][j] = M[i-1][j]
S[i][j] = 2
else:
M[i][j] = M[i][j-1]
S[i][j] = 3
j += 1
i += 1
# print(M)
return M[-1][-1],S
def cLCS(i,j,S,s1):
if i == 0 or j == 0:
return
if S[i][j] == 1:
cLCS(i-1,j-1,S,s1)
print (s1[i - 1], end='')
elif S[i][j] == 2:
cLCS(i-1,j,S,s1)
else:
cLCS(i,j-1,S,s1)
s1 = 'abcbdab'
s2 = 'bdcaba'
max,S = LCS(s1,s2)
print(S)
# print(len(S),len(S[0]))
cLCS(len(S)-1,len(S[0])-1,S,s1)
# print(max)
结果如下：
三、求字符串里的最长回文子串
题目：给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
举例：'cdca'的最长回文字符串为'cdc'
思路：遍历字符串的每个元素,然后以该元素为中心点进行左右扩展,取长度最大的
代码如下：
class Solution():
def __init__(self):
self.max_len = 0
self.res = ''
def getLongestPalindrome(self,s):
if len(s) == 1:
return
start = 0
for i in range(1,len(s)):
tmp1 = self.max_side(s,i,i) #以这个数为中心点进行扩展
if tmp1 > self.max_len:
self.max_len = tmp1
start = i - tmp1 // 2
tmp2 = self.max_side(s,i-1,i)#从这个数和前面的数=以两个数为中心点进行扩展
if tmp2 > self.max_len:
self.max_len = tmp2
start = i - tmp2 // 2
self.res = s[start:start+self.max_len]
return s[start:start+self.max_len]
def max_side(self,s,i,j):
maxs = 0
if i == j: #单数是以一个数为中心
maxs = 1
i -= 1
j += 1
while i >= 0 and j < len(s) and s[i] == s[j]: #双数以两个一样的字符为中心
maxs += 2
i -= 1
j += 1
return maxs
#leetcode速度最快的代码
def longestPalindrome_best(self, s):
"""
:type s: str
:rtype: str
"""
length = len(s)
if length < 2 or s == s[::-1]: return s
max_len, begin = 1, 0
for i in range(1, length):
odd = s[i - max_len - 1:i + 1]
even = s[i - max_len:i + 1]
if i - max_len >= 1 and odd == odd[::-1]:
begin = i - max_len - 1
max_len += 2
continue
if i - max_len >= 0 and even == even[::-1]:
begin = i - max_len
max_len += 1
return s[begin:begin + max_len]
S = Solution()
res = S.longestPalindrome_best(s='abaad')
print(res)
结果如下：aba
四、和为0的最长连续子串长度
题目：一个一维数组中只有1和-1，实现程序，求和为0的最长子串长度，并在注释中给出时间和空间复杂度
思路：在i从0到n，计算sum(i)，sum(i)表示从0到i的元素之和。并保存在字典dic中，value是索引i，在往后的遍历中每得到一个sum(i)就查看dic的keys是否已有此sum(i)值，如果有则用当前i位置减去保存的i，并与maxLen比较，取大的那个。遍历结束，给出结果。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
代码如下：
def min_len(l):
dic = {0: -1}
sum = 0
maxLen = 0
for x in range(0, len (l)):
sum += l[x]
print(dic)
if sum in dic:#如果有一样的数出现,说明两个数之间的数和第二个数之和等于0
maxLen = max(maxLen, x - dic[sum])
else:
dic[sum] = x
return maxLen
print(min_len([3,5,-1,-6,2]))
【扩展】和为给定值的最长连续子串
思路：遍历，找和为s的子串，留长度最大的
代码如下：
def findarr(s,nums):
if not nums:
return 0
res = -2 ** 31
for i in range(4,len(nums)):
pos = i + 1
while pos < len(nums)-2 and sum(nums[i:pos+1]) < s:
pos += 1
if sum(nums[i:pos+2]) == s and pos - i + 1 > res:
print(i,pos)
res = pos - i + 1
print(res)
s = 7
nums = [2,3,0,2,4,2,0,0,1,2,0,0,2,2]
findarr(s,nums)
五、和大于等于给定值的最短连续子串
题目：给定一个含有 n 个正整数的数组和一个正整数 s ，找出该数组中满足其和 ≥ s 的长度最小的连续子数组。如果不存在符合条件的连续子数组，返回 0。
举例：输入: s = 7, nums = [2,3,1,2,4,3] 输出: 2
解释: 子数组 [4,3] 是该条件下的长度最小的连续子数组。
思路1：遍历每位，找和大于等于给定值的长度，然后依次向后遍历，直到遍历完所有的位置。
思路2：滑动窗口，从左往右加到大于s的数，然后从左开始删,若删除之后还能得到大于s的数，则记录当前的长度,若不能，就继续右移,加数
思路1代码如下：
def findarr(s,nums):
# nums.sort() #[4,3,3,2,2,1]
if not nums:
return 0
res = 2 ** 31
for i in range(len(nums)):
pos = i + 1
while pos < len(nums)-2 and sum(nums[i:pos+1]) < s:
pos += 1
if pos - i + 1 < res:
print(i,pos)
res = pos - i + 1
print(res)
思路2代码如下：
def minSubArrayLen2(s, nums):
cur_sum = 0
n = len (nums)
res = float ("inf")
l = 0
for i in range (n):
cur_sum += nums[i]
while cur_sum >= s:
res = min (res, i - l + 1)
cur_sum -= nums[l]
l += 1
return res if res != float ("inf") else 0
s = 7
nums = [2,3,1,2,4,3]
res = minSubArrayLen2(s,nums)
print(res)
结果：res = 2
六、连续最大子序和
题目：给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例: 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4], 输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。
进阶: 如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。 O(n)
思路1：始终保留最大值，如果当前和比n还小，当前和就取n；否则，和加上这个数，然后用c_res记录最大子序列
代码如下：
def maxSubArray1(nums):
s, ts = - 2 ** 31, - 2 ** 31
res_ = []
c_res = []
for n in nums:
if n > ts + n: #如果当前和比n还小，当前最大和就取n
ts = n
res_ = [n]
else: #否则，取n+ts
ts = n + ts
res_.append(n)
if s < ts:
s = ts
c_res = list(tuple(res_))
print("c_res=%s,res_=%s"%(c_res,res_))#c_res记录最大子序列
return s
# res = maxSubArray1([1,-2])
# print(res)
思路2：如果把数组分成左右两段，那么加和最大的连续子序列，要么出现在数组的左半部分，要么出现在数组的右半部分，要么出现在中间，即从左半部分和右半部分相邻的地方各区一段。所以可以用分治法来求解，具体实现时需要借助递归
代码如下：
import math
def CalMax(a, b, c):#三个数比较大小
if a > b:
if a > c:
return a
else:
return c
else:
if b > c:
return b
else:
return c
MaxLeftSum = 0
MaxRightSum = 0
number = [7, 0, 6, -1, 1, -6, 7, -5]
def MaxCalculator(left, right):
middle = int(math.modf((left + right) / 2)[1])
if left == right:
if number[left] > 0:
return number[left]
else:
return 0
MaxLeftSum = MaxCalculator(left, middle)
MaxRightSum = MaxCalculator(middle + 1, right)
MLASum = 0
MRASum = 0
MSum = 0
i = middle
while i >= left:
MSum += number[i]
if MSum > MLASum:
MLASum = MSum
i = i - 1
MSum = 0
i = middle + 1
while i <= right:
MSum += number[i]
if MSum > MRASum:
MRASum = MSum
i = i + 1
return CalMax(MaxLeftSum, MaxRightSum, MLASum + MRASum)
n=6
result = MaxCalculator(0,n-1)
print(result)
结果：13
