YBTOJ 错排问题

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题目大意

　　求对于一个长度为n的数组，有多少种方法让所有 a_i 都不等于i

题目分析

　　设f(n)为n个数的合法排列个数，那么f(1)=0,f(2)=1。

　　当n>=3时，考虑f(n)的值：

　　非常明显，把第n个数放在第k个位置上时(k当然不能等于n)，有(n-1)中放法；接着，考虑第k个数可能放置的位置：

　　如果第k个数放置在第n个位置上（这时候a_k=n,a_n=k），那么除n,k以外的(n-2)个数字组成与原问题完全相同的子问题，有f(n-2)种方法；而k有(n-1)种可能，所以有(n-1)*f(n-2)种方法；

　　如果第k个数不放置在第n个位置上（这时候a_k==n 但a_n≠k），那么除n以外的(n-1)个数字组成与原问题相同的子问题，有f(n-1)种方法；而k仍然有(n-1)种方法，所以又有(n-1)*f(n-1)种方法；

　　两个式子相加，得f(i)=(i-1)*(f(i-1)+f(i-2))；

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll f[30],n;
int main(){
    scanf("%lld",&n);f[1]=0;f[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;++i){
        f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}