浅谈网络流Dinic算法

本篇随笔简单讲解一下网络流中的Dinic算法。


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一些基本定义

1、弧：网络上的有向边被称作弧。弧分为前向弧和后向弧。前向弧就是题目中给出的有向边，后向弧就是我们所建立的反边。

这样地、弧就有了容量、流量、零流弧、饱和弧这些建立在网络流边上的定义。

2、链：网络的一条顶点序列被称作链。注意，只要是相连的顶点序列就可以，不一定要求弧的方向相同。所以一条链中既有前向弧，又有后向弧。


二、Dinic算法的原理

其大致步骤大致为：

在网络上通过\(BFS\)为其划分层次。层次在我理解中，是和深度差不多的概念。但是深度只在树上划分，而层次就是图上的。我们可以理性地将其理解为从源点到此处的最短路。

但是这个层次划分是有条件的，我们要求所有的点必须可达，也就是从源点到它的链上不能有零流弧。

然后再用DFS寻找。

这个算法的时间复杂度最坏是\(O(n^2m)\)。

其时空复杂度的优化主要是因为这个“分层”。分层操作预处理出所有点到源点的距离，所以我们增广的时候，只向层数高的地方增广，可以保证不走回头路，不绕圈，这样就排除了很多冗余搜索，大大提升时空复杂度。


三、Dinic算法的优化

Dinic算法的优化方式有两种，第一种是多路增广，第二种是当前弧优化。

理论复杂度是\(O\)(可过)——LLQ

多路增广

我们可以使用多路增广节省很多花在重复路线上的时间：在某点DFS找到一条增广路后，如果还剩下多余的流量未用，继续在该点DFS尝试找到更多增广路。

当前弧优化

在Dinic算法中，一条边增广一次后就不会再次增广了，所以下次增广时不需要再考虑这条边。我们把head数组复制一份，但不断更新增广的起点。


四、Dinic算法的代码实现

还是以模板题为例。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=210;
const int maxm=5010;
const int INF=2147483646;
int n,m,s,t,ans;
int tot=1,head[maxn],nxt[maxm<<1],to[maxm<<1],val[maxm<<1];
int lv[maxn],cur[maxn];
queue<int> q;
void add(int x,int y,int z)
{
to[++tot]=y;
nxt[tot]=head[x];
val[tot]=z;
head[x]=tot;
}
bool bfs()
{
memset(lv,0,sizeof(lv));
lv[s]=1;
q.push(s);
while(!q.empty())
    {
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        {
int y=to[i];
if(!val[i]||lv[y])
continue;
lv[y]=lv[x]+1;
q.push(y);
        }
    }
return lv[t];
}
int dfs(int x,int flow)
{
if(!flow||x==t)
return flow;
int ret=0;
for(int i=cur[x];i;i=nxt[i])
    {
cur[x]=i;
int y=to[i];
if(val[i]>0 && lv[y]==lv[x]+1)
        {
int tmp=dfs(y,min(val[i],flow));
flow-=tmp;
ret+=tmp;
val[i]-=tmp;
val[i^1]+=tmp;
        }
    }
return ret;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1;i<=m;i++)
    {
int x,y,z;
scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
add(y,x,0);
    }
while(bfs())
    {
memcpy(cur,head,sizeof(head));
ans+=dfs(s,INF);
    }
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}