一.最大似然估计
选择一个(一组)参数使得实验结果具有最大概率。
A. 如果分布是离散型的，其分布律
,
是待估计的参数，这里我们假设为已知量，则：设X1, X2, ... , Xn 是来自于X的样本,X1,X2,...Xn的联合分布律为：
（1）
设x1,x2,...xn是X1,X2,..Xn的一个样本值，则可知X1,..Xn取x1,..,x2的概率，即事件{X1 = x1,...,Xn=xn}发生的概率为：
（2） 这里，因为样本值是已知的，所以(2)是的函数，
称为样本的似然函数。 最大似然估计：已知样本值x1,...xn,选取一组参数,使概率
达到最大值，此时的为最大估计值。即取
使得：
与x1,...,xn有关，记为
并称其为参数的极大似然估计值。B.如果分布X是连续型，其概率密度
的形式已知，为待估计参数，则事件X1,...Xn的联合密度为：
(3)
设x1,..xn为相应X1,...Xn的一个样本值，则随机点(X1,...,Xn)落在(x1,..xn)的领域内的概率近似为：
(4) 最大似然估计即为求
值，使得(4)的概率最大。由于
不随而变，故似然函数为：
(5)
C. 求最大似然估计参数的步骤：
(1) 写出似然函数：
(6)
这里，n为样本数量，似然函数表示n个样本(事件)同时发生的概率。
(2) 对似然函数取对数：
(3) 将对数似然函数对各参数求偏导数并令其为0，得到对数似然方程组。
(4) 从方程组中解出各个参数。
D. 举例：
设
;
为未知参数，x1,...xn为来自X的一个样本值。求
的极大似然估计值。
解：X的概率密度为：
似然函数为：
令
即：
解得：
带入解得
二.逻辑回归
逻辑回归不是回归，而是分类。是从线性回归中衍生出来的分类策略。当y值为只有两个值时(比如0，1)，线性回归不能很好的拟合时，用逻辑回归来对其进行二值分类。
这里逻辑函数(S型函数)为：
(7)
于是，可得估计函数：
（8）
这里，我们的目的是求出一组值，使得这组可以很好的模拟出训练样本的类值。
由于二值分类很像二项分布，我们把单一样本的类值假设为发生概率，则：
（9）
可以写成概率一般式：
(10)
由最大似然估计原理，我们可以通过m个训练样本值，来估计出值，使得似然函数值最大：
（11） 这里，
为m个训练样本同时发生的概率。对
求log，得：
（12） 我们用随机梯度上升法，求使
最大化时的值，迭代函数为：
（13） 这里
对每个分量进行求导，得：
（14）
于是，随机梯度上升法迭代算法为：
repeat until convergence{
for i = 1 to m{
(15)
}
}
思考：
我们求最大似然函数参数的立足点是步骤C，即求出每个参数方向上的偏导数，并让偏导数为0，最后求解此方程组。由于中参数数量的不确定，考虑到可能参数数量很大，此时直接求解方程组的解变的很困难。于是，我们用随机梯度上升法，求解方程组的值。
备注：
(a) 公式(14)的化简基于g(z)导函数，如下：
（16）
(b) 下图为逻辑函数g(z)的分布图：
