洛谷P1063 能量项链 区间DP

洛谷P1063 能量项链

题目描述

在 MarsMars 星球上，每个 MarsMars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 NN 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 MarsMars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 mm ，尾标记为 rr ，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为 nn ，则聚合后释放的能量为 m \times r \times nm×r×n （ MarsMars 单位），新产生的珠子的头标记为 mm ，尾标记为 nn 。

需要时， MarsMars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 N=4N=4 ， 44 颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2,3) (3,5) (5,10) (10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2) 。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，( jj ⊕ kk )表示第 j,kj,k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 44 、 11 两颗珠子聚合后释放的能量为：

( 44 ⊕ 11 ) =10 \times 2 \times 3=60=10×2×3=60 。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

(( 44 ⊕ 11 )⊕ 22 )⊕ 33 ）= 10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=71010×2×3+10×3×5+10×5×10=710 。

输入输出格式

输入格式：
 

第一行是一个正整数 N(4≤N≤100)N(4≤N≤100) ，表示项链上珠子的个数。第二行是 NN 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 10001000 。第 ii 个数为第 ii 颗珠子的头标记 (1≤i≤N)(1≤i≤N) ，当 i<N< span>i<N<span> 时，第 ii 颗珠子的尾标记应该等于第 i+1i+1 颗珠子的头标记。第 NN 颗珠子的尾标记应该等于第 11 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式：
 

一个正整数 E(E≤2.1 \times (10)^9)E(E≤2.1×(10)9) ，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4

2 3 5 10

输出样例#1： 复制

710

说明

NOIP 2006 提高组 第一题

 

用head表示第i颗珠子的头标记，用tail表示尾标记，合并两颗相邻珠子所释放的能量为：energy=head[i]*tail[i]*tail[i+1]

合并时不一定按输入顺序合并，与石子合并问题类似，第n次合并，可以归结到第n-1次合并，具有明显地动规性质。用f[i,j]表示从第i颗珠子合并到第j颗珠子时产生的最大能量，用k表示最后一次的合并位置，则有： dp[i,j]=max{dp[i,k]+dp[k+1,j]+head[i]*tail[k]*tail[j] , i≤k≤j} 上式中，dp[i,k]表示第i颗到第k颗珠子产生的最大能量，dp[k+1,j]表示合并第k+1颗到第j颗时产生的最大能量，head[i]*tail[k]*tail[j]表示最后一次合并时产生的能量。dp[i,j]的值，分成两个区间，取最大值，是典型的区间型动规。最后一次合并时，产生的能量为什么是head[i]*tail[k]*tail[j]呢？（仔细看看）假设有5颗珠子，每颗珠子的能量为10,2,3,5,6，当i=1,j=4,k=2时，如图：

 

由图可以看出，合并dp[1,2]，dp[3,4]后，还剩下1,3,5三颗珠子（从最上面开始顺时针数），此时1号珠子head[1]=10，tail[1]=3，相当于原图的tail[2]；3号珠子tail[3]=6，相当于原图的tail[4]。最后合并dp[1,4]时，相当于合并1,3两颗珠子，产生的能量为最右边图的10*3*6，相当于原图中的head[1]*tail[2]*tail[4]，即为上式中的head[i]*tail[k]*tail[j]。

可以说这里发现了一个规律：两区间合并后产生的能量=左区间第一个珠子*右区间第一个珠子*总区间后面的一个珠子。

由于项链是一个环，我们把项链以2*n-1长度，一水平线的形式平铺在桌面上，从左到右逐一扫描，得出最大值。

 

实现：

重点就是将整体划分为区间，小区间之间合并获得大区间

状态转移方程的推导如下

一、将珠子划分为两个珠子一个区间时，这个区间的能量=左边珠子*右边珠子*右边珠子的下一个珠子

二、区间包含3个珠子，可以是左边单个珠子的区间+右边两珠子的区间，或者左边两珠子的区间右边+单个珠子的区间

即，先合并两个珠子的区间，释放能量，加上单个珠子区间的能量（单个珠子没有能量。。）

Energy=max(两个珠子的区间的能量+单个珠子区间的能量，单个珠子的区间的能量+两个珠子的区间的能量 ）

三、继续推4个珠子的区间，5个珠子的区间。

于是可以得到方程：Energy=max（不操作的能量，左区间合并后的能量+右区间合并后的能量+两区间合并产生能量）

两区间合并后产生的能量=左区间第一个珠子*右区间第一个珠子*总区间后面的一个珠子，

阶段：区间长度

状态：左右端点（注意这里转化为石子堆了）

决策：划分点k的最佳位置

状态转移方程 ：f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+m[i]*m[j+1]*m[k+1])

初值：f[i][i]=0,其余为无穷大

目标：f[1][n]

 

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 long long n,m[1005],k,i,j,f[1005][1005]={0};
int main()
{
   
     while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>m[i];
        m[n+i]=m[i];
        f[i][i]=0;
    }

     for(int len=2;len<=n;len++)
        for(i=1;i<=2*n-len+1;i++)
     {
         j=i+len-1;
        for(k=i;k<=j-1;k++)
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+m[i]*m[j+1]*m[k+1]);
     }
     long long maxx=0;
      for (int i=1;i<=n;i++)
            maxx=max(maxx,f[i][n+i-1]);
        cout<<maxx<<endl;
    }
 
    return 0;
}