gcc -O1 -Wall -m32 -lm -o btest bits.c btest.c decl.c tests.c In file included from btest.c:16:0: /usr/include/stdio.h:27:10: fatal error: bits/libc-header-start.h: No such file or directory #include <bits/libc-header-start.h> ^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ compilation terminated. In file included from decl.c:1:0: /usr/include/stdio.h:27:10: fatal error: bits/libc-header-start.h: No such file or directory #include <bits/libc-header-start.h> ^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ compilation terminated. In file included from /usr/lib/gcc/x86_64-linux-gnu/7/include-fixed/limits.h:194:0, from /usr/lib/gcc/x86_64-linux-gnu/7/include-fixed/syslimits.h:7, from /usr/lib/gcc/x86_64-linux-gnu/7/include-fixed/limits.h:34, from tests.c:3: /usr/include/limits.h:26:10: fatal error: bits/libc-header-start.h: No such file or directory #include <bits/libc-header-start.h> ^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ compilation terminated. Makefile:11: recipe for target 'btest' failed make: *** [btest] Error 1
Installed systemd unit for VNC Server in Virtual Mode daemon Start or stop the service with: systemctl (start|stop) vncserver-virtuald.service Mark or unmark the service to be started at boot time with: systemctl (enable|disable) vncserver-virtuald.service
bitXor
仅使用&和~14步之内完成^
解决思路
通过列举异或(^),按位与(&)和取反(~)在不同情况下的计算结果可以得到如下结果
^
1 | 1 | ||
1 | 1 | ||
1 | 1 |
&
1 | 1 | ||
1 | 1 | ||
1 | 1 | 1 |
~
1 | |
1 |
为了描述的方便,设两数为x
和y
。通过上述表格不难发现,~(x & y)
与(x^y)
的结果仅仅在0 0
这一种情况下是不正确的,考虑解决这一问题
0 0
这种情况运算结果是1
,正确结果应当为0,~(~x & ~y)
得到的结果恰好可以仅将0 0
这种情况结果为0
,其他所有情况为1
,再&
,恰好可以在不变动其他情况的条件下修正0 0
的结果
tmin
仅使用! ~ & ^ | + << >>,4步之内获取最小的32bit的二进制补码整数
w
位补码所能表示的范围为$[-2^{w - 1}, 2^{w - 1} - 1]$ 即1 << 31
isTmax
仅使用 ! ~ & ^ | +,10步之内判断一个数据是否为最大的32bit的二进制补码整数
我的最初想法是
int isTmax(int x) {
return !(~(x + 1) ^ x);
}
我想的是需要用一种方式区分开最大值和其他值
这样想的理由是只有在x为最大值时,通过~(x + 1)
这种溢出的运算才可以获取到最大值,然后与x异或最大值时为0,再取反得到1
可能这种通过运算溢出的方式不可行
其实回过头来想,判断一个数是否为最大值,只需要用最大值和它异或即可
我的方式也是想办法获得最大值,可是最大值可以直接表示
我忽略了一点,题目不允许使用超过255的数据,所以无法直接使用0x7fffffff,
而且无法使用移位操作,因此无法构造出最大值
所以只能考虑假设x为最大值,如果操作x构造出最大值
其实上面的做法中通过~(x + 1)是正确得到0x7fffffff的方法
但是答案不正确,是因为-1的存在
换言之, x + 1 = ~x
, x == 2147483647 or -1
把这个问题真正解决了可以发现,应该是这么想,恰好发现2147483647+1的结果与2147483647正好是取反的关系
因此把2147483647+1反过来再与2147483647异或恰好可以得到0,这里其实想的并不是去构造最大值2147483647
而我想的是去构造2147483647,所以没有关注到这里会出问题,我实际上找的是x + 1 = -x
这样的x,没想到除了2147483647,-1也是解,
因此考虑如何区分2147483647和-1,当我看到-1+1的结果是全0后,考虑到这样一个问题
只有!0=1,其他所有数!结果均不为1,前半部分只有2147483647和-1=0,其他均为1,后半部分只有-1为1,其他均为0
而|会使除-1以外的数据运算结果不变2147483647还是0,其他还是1,而-1会从0变成1,从而就单独把2147483647区分出来了
这道题如果允许使用移位符其实和下面的allOddBits就是一样的了
allOddBits
原理:x ^ x = 0 检测是不是奇数位全为1,只需要构造出奇数位全为1即可, 首先&一下是为了获得奇数位全为1的形式,如果x不符合条件,那么&之后的奇数位一定有为0的,^之后的结果就不是0
negate
负数的补码表示恰好为正数二进制取反加一
isAsciiDigit
不处在0x30
和0x39
范围的条件为
1.前面不是3
2.后面大于9
我在做的时候不会的是如何判断后面是不是大于9,暴力想法是判断它是不是10,11,12,13,14,15
但是应当从二进制的角度去想是不是大于9,大于9只需要首位为1,后面两位任意一位为1
(x & 0xF0) ^ 0x30
错误原因在于& 0XF0
,当遇到一个位数大于8位的数字时,从第9位往高位的所有数字都会被0xF0
填充的0变成0
因此只要低8位是0x30,前面不管是多少异或的结果都是0
其实0xF0的意图是想把低4位清0,以便比较低8位中的高4位,但是高位补的0使得结果出现错误
如果用我的想法,只要低8位处在合法范围内就会将这个数判断为合法的,原因就是高位的数据被0xF0补充的0所消灭了
conditional
需要根据x的是否为0获得y或z 通过运算可以得到如下结果
x | !x | !!x | !!x - 1 | ~(!!x - 1) |
---|---|---|---|---|
不是0 | 00000000000000000000000000000000 | 00000000000000000000000000000001 | 00000000000000000000000000000000 | 11111111111111111111111111111111 |
00000000000000000000000000000001 | 00000000000000000000000000000000 | 11111111111111111111111111111111 | 00000000000000000000000000000000 |
我的想法是首先把x转化成一个对应的逻辑值0或者1,也就是通过两次!运算
然后发现如果想取y那么只需要用全1和它进行&运算,同时用全0与z进行&运算,如果想取z则把这个运算返过来
所以目前的任务是把!!x的结果能够满足上述运算的效果,也就是要通过!!x获得一个全0和全1
但是通过上表可以发现,!!x有两种结果,而我们必须通过一个相同的操作获得全0或者全1,可以发现-1恰好可以满足,而该题不允许使用减号,因此通过加-1实现,而-1的二进制恰好为对0取反
在解决问题之后,我们回过头来看这个表格,可以发现,可以不经过!!这个过程,方法是利用数据左移是逻辑移位,右移是算数移动,所谓算数移位是指在向右移动时,左侧补充的值是符号位,如果想让全0还是全0,0000...001变成全1,只需要让!左移31位,再右移31位置,即可以相同的方式实现从!x到!!x-1的转换
isLessOrEqual
很容易想到判断x是否小于等于y,只需要判断x与y的差值是否是小于等于0的即可 x和y的符号有下面几种可能
x的符号 | y的符号 | x符号位 | y符号位 |
---|---|---|---|
+ | + | ||
+ | - | 1 | |
- | + | 1 | |
- | - | 1 | 1 |
上面通过减法的结果判断两数大小关系是正确的思路,但是在进行减法时,异号之间可能会发生溢出 而异号之间仅通过符号位就可以判断出大小关系了,不需要进行减法 通过上表可以发现可以区分同号和异号的是符号位异或的结果,同号符号位异或结果为0,异号符号位异或结果为1 而且可以发现,在异号时x是否小于等于y的结果与x的符号位恰好相同 通过上述得到的性质可以使在同号时使用减法来判断大小关系,在异号时通过符号位判断大小关系 符号位异或的结果就像是一个开关,在一种情况下打开一个,关闭另一个,另一种情况则正好相反
logicalNeg
这个问题没有想出来 最初的思路显然需要找到0和其他数据之间的区别,我认为这道题之所以没有想出来问题就出在这里 我的关注点始终放在了一个单独的数据上,从最终答案来看关注点应当是两个数据 我想的始终是对于一个非0的数据,怎么才可以将它与0区分开来,但是始终找不到可行的方法 如果把数据按照数轴列的方式列出来,或许我可以发现相反数的存在 0和-2147483647的相反数是它们本身,其他数的相反数符号位一定与原数符号位相反 通过符号位来进行区分 同时1bit的0和1之间的相互转化,可以使用!也可以使用^运算
howManyBits
题目中给了几个Example,看前几个的时候还是很明确的,但是到了-1就糊涂了, 在补码中
- 对于正数,默认值都是0,因此最高位的1代表着数据表示的结束
- 对于负数,因为负数的补码是正数取反得到的,因此默认值为1,因此最高位的0代表着数据表示的结束
因此对于正数,找到最高位1所在位数+1即为答案,对于负数,找到最高位0所在位数+1即为答案
显然-1对应的答案也是满足上述方法的,只是确实不太好理解,因为它只留下了一个符号位,既是符号位同时转为原码后也能代表+1
正数和负数的寻找目标是不同的,但是可以对负数按位取反,从而将正负数的操作统一为寻找最高位的1
到此为止,还是通过思考可以想出来的,后续的问题就是如何得到最高位1所在的位数
单就统计位数这个问题我就没有相出什么办法,没想出来怎么可以实现计数
方法是看看高16位是否存在1,如果存在,那么位数计数要从16开始(这个可以通过移位实现)
之后把原来的数据变成原来的高16位或低16位,这取决于高16位是否存在1
之后看高8位,按照相同的过程直到变成看高1位从而找到1
判断一个数中有没有1等价于看这个数是否为0,通过!运算即可实现
!!(x >> 16)
:x的高16位是否存在1 - 存在1,那么接下来的寻找空间就由原来的32bit变为高16bit,因此需要把x右移16位,而答案位数最低也是16了,因此还要对答案累积16,因此可以发现x要移动的位数和答案要累积的数值是相等的,所以直接对
!!(x >> 16)
进行移位 - 不存在1,寻找空间由原来的32bit变为低16bit,x需要右移0位,答案位数最低为0
上述两种情况都按照存在1的方式进行移位均可以得到正确结果
如果
!!(x >> 16)
为1代表最高位1存在于高16位,假设最高位1位于17bit,那么此时bit_16的结果代表最高位1的后面一位 bit_1代表在2位中最高位1是否存在于高1位,把bit_16到bit_1的结果相加得到的应当是最高位1所在位置的下一位,比如最高位1处在4,那么bit_16到bit_1的和就是3,处在4的下一位 而我们的目标是最高位的1所处的位置,而非最高位1的下一位所处的位置 因此还需要加上最高位1本身,但是这里不能直接+1,如果存在最高位1,直接加1确实可以,但是如果不存在最高1应当加0 所以一个等效的办法是加上最后处理完成后的仅剩1位的x,x如果是1代表存在最高位1,那么加1,即加上它本身的位置,x如果为,说明不存在最高位1,加上0答案也是正确的
float_twice
-
exp不为全0或全1,全0和全1有特殊用途
-
阶码E=exp-bias(偏置值),exp是无符号数据的值,bias有计算公式$2^{k - 1} - 1$,在单精度浮点数中=127
-
尾数M存在规格化的问题,表示为1.xxx的形式,把原数中的小数点左移,通过阶码来表示这种移动
frac之所以向右侧补0,是因为frac表示的是小数点右侧的数值,是从左侧开始计数的,因此向右侧补0,就像小数点左侧是从右侧开始计数,向左侧补0
单精度格式分类
以下公式的立足点在于已知上图中的数据推导出原数,即从exp和f推导出E和M
-
规格化
$E = exp - Bias(exp = E + Bias)$
$M = 1 + f(M = 1.f_{n - 1}f_{n - 2}...f_{0})$,所以f实际是将M小数点移到左侧最高位之后的位置,小数点右侧的内容
-
非规格化
非规格化数的用途是:1.表示0; 2.表示非常接近0的数
阶码域为全0时,即$exp=0$时
如果按照规格化的规定,应当有$E = 0 - Bias = -Bias$,但是却规定$E = 1 - Bias$
M = f, 即f表示的小数是多少M就是多少,与规格化的区别在于缺少了隐含的开头的1
-
无穷大
exp为全1,frac为全0,s为0时代表正无穷,s为1时代表负无穷
-
NaN
exp为全1,frac不为0时,表示不能是实数和无穷的数值
解题
对于给定的一个数据,存在以下几种情况
-
规格化数
exp+1即可,但要考虑是否会发生溢出
如果结果变为全1,是不是要返回无穷,没道理变成Nan,变成无穷是不是还要把frac变成全0。答案是对的,规格化数的最大值的exp加1后应当变为无穷,确实要把frac修改为全0
exp为全0
-
非规格化数
感觉上是对frac直接乘2,如果超过非规格化范围怎么办?
*2就是对frac直接左移1位,如果超过了非规格化的范围,最左侧的1会移动到exp的范围内,很神奇的是此时不需要进行任何操作结果恰好是正确的,这里可能和非规格化标准的定义有关系
exp为全1
-
无穷大和无穷小
直接返回原数即可
-
NaN
直接返回Nan即可
需要注意的是这里没有仅能使用8bit数据的限制了,可以使用32bit的数据了,所以提取数据就变得简单许多
问题是把unsigned uf的uf的二进制直接当作浮点数了,不是说给定一个值要先转化为二进制然后再根据E和exp,f和M的关系转换为浮点数,而是它的二进制本身就是浮点数,这点我一直理解的有问题。因为题目中采用的是无符号数,而且把这个无符号数就当作了浮点数,所以在给定一个数据时它的二进制表现形式就直接被当作浮点数了,所以这也就是为什么2147483647是NaN了,因为它的二进制表现形式是0x7fffffff,对应exp位置的是0xff,对应frac位置的又不为0,刚好是浮点数中NaN的表现形式
float_i2f
作为参数的int可能是一个负数,但是在修改为float形式时,都是观察正数的情况的,之后修改符号位为1
把int转化为float,采用unsigned形式存储并返回
浮点数包含以下几种情况:
-
规格化
-
非规格化
-
无穷
-
NaN
int的表示范围为[-2147483648, 2147483647]
这个范围内的数转化为float时,不会出现2(0除外),3,4的情况
所以要处理的只是0和规格化数
由于不存在NaN和无穷的情况,所以exp还是很好处理的
难点在于frac的处理,一方面要考虑尾数不够23bit和超过23bit两种情况
不够23bit向左移,右侧自动补0不会出什么问题
如果超过23bit需要向右移,这时候出现一个问题是右侧被丢弃的位涉及到数据的舍入,IEEE默认的舍入的规则为向偶数舍入,通俗地说可以为4舍6入5取偶数,不够一半就舍弃,例如1.4->1,超过1半就升上去,例如1.6->2,刚好一半就向最接近的偶数靠近,例如1.5->2,2.5->2,对于3.5这种减少和增加都可以到达偶数的,默认升上去变为4
上面是以10进制为例的,2进制的规则见下方例子
相当于保留精度到整数
-
xxx.0xxxx: 直接舍弃小数部分,不需要进行操作
-
xxx.10000 (对应
else flag = frac & 1
)- xx1.100000: 升上去 (flag = 1)
- xx0.100000: 已经是偶数不需要处理的 (flag = 0)
-
xxx.10001: 升上去 (对应
if (m & 1) flag = 1
)
float_f2i
int转float时,由于int本身的限制,转float时并不会出现非规格化,无穷和NaN的数据
但是float转int时,由于float本身那几种形式都有可能出现,所以分开讨论
-
规格化
exp不为全0和全1
-
非规格化
exp为全0,结果是0(此处其实还有疑惑,为何浮点数向整形转换会直接舍弃掉小数部分?例如浮点数0.9转换为int时直接变为0)
-
无穷
exp为全1,frac为全0,返回题目规定值
-
NaN
exp为全1,frac不为全0,返回题目规定值
容易被忽视的一点是,在规格化时,当exp计算得出的e过大使得表示的数据超出int的范围时应当返回题目规定值,所以这也就涉及到了如何判断是否溢出
int的最大值是01111111111111111111111111111111,即$1.1...1 * 2^{30}$,所以我觉得当超过30时即会超出范围(此处还有疑问,超过30即$>= 31$,但实际测试设置为$> 31$结果依然正确,尝试将溢出的范围设置更大时依然可以得到正确结果,尝试查看测试数据,但是没有找到),巧合的是当浮点数为无穷和NaN时的e也是超出这个范围的,所以可以将操作进行合并
首先计算e,根据e即可区分几种情况