插值java 插值和拟合的区别

第五章 插值与拟合

插值与拟合是两个截然不同的概念。
插值的目的是为了估计出已知数据节点之间的函数值，因为实际问题往往是通过实验观测到的数据，受限于实验仪器的测量精度影响，有时候无法获得更加精确的数据，此时就需要插值来填补和替代已知点之间的值。
拟合的目的是为了根据已知有限个数据点，求对应的近似函数，函数不要求过已知点，只要求在某种意义下它在这些点的总偏差最小。
虽然都是从已知数据着手，通过一组数据构造函数作为近似，但是由于近似的要求不同，两者的数学方法是完全不同的。

5.1 插值

定义：在平面上给定一组离散点列，要求一条曲线，把这些点按次序连接起来，叫做插值。

分段线性插值

简单讲，就是根据已知数据点，把每相邻两个节点之间视为用直线相连，这样从头至尾将所有数据点依次连接构成的函数，就是分段线性插值函数。其中每一段都有自己的一个函数表达式，而且总体上看，各段之间的函数表达式以递推的形式，构成了总体的分段线性插值函数。

数学表达：将分段线性函数记为：$I_n(x)$,在$[x_i,x_i+_1)],i=0,1,...,n-1$上满足$I_n(x_i)=y_i$。

虽然插值时，只会用到相邻的数据点的函数值，但是，分段的个数也对最终的结果有影响。分段的个数越多，插值得到的结果就会越精确。

拉格朗日插值多项式

样条插值

定义：具有一定光滑性的分段多项式，就是样条函数。

数学表示：给定一个区间$[a,b]$的一个划分，$Δ:a=x_0<x_1<...<x_n-1<x_n=b.$

如果函数满足：

（1）在每个小区间$[x_i,x_i+_1](i=0,1,...,n-1)$上是$m$次多项式；

（2）$S(x)$在$[a,b]$上具有$m-1$阶连续导数；

则称$S(x)$为关于分划$Δ$的$m$次样条函数。

特殊的一种样条插值：三次样条插值。

函数满足：（1）$S(x_i)=y_i=f(x_i),(i=0,1,...,n)$；（2）在每个小区间$[x_i,x_i+_1](i=0,1,...,n-1)$上是3次多项式；（3）$S(x)$在$[a,b]$上具有2阶连续可微。

根据条件（2）可以得到：

式子中，$a_i,b_i,c_i,d_i$共计$4n$个待定参数。

从条件（3）出发，

可以确定$4n-2$个待定参数，剩下的两个要通过边界条件来确定。

有三种常用的三次样条函数边界条件：

（1）$S$；该边界条件建立的插值函数称为$f(x)$的完备样条插值函数。

特别地，$y$时，样条曲线在端点处水平。

如果$f$不知道，我们可以要求$S$与$f$在端点处近似相等。这时，以$x_0,x_1,x_2,x_3$作为节点，作一个三次$Newton$插值多项式$N_a(x)$，以$x_n,x_n-_1,x_n-_2,x_n-_3$作为一个三次$Newton$插值多项式$N_b(x)$，要求：

$S$.

（2）$S$。特别地，$y$时，称为自然边界条件。

（3）$S$,此条件称为周期条件。

参考文献

司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.