图神经网络计算邻接矩阵 图神经网络 路径规划

cs224w 2-2 Traditional Feature-based Methods-Line

边层级

上节课我们介绍了关于节点相关的基础知识，这节课我们将关注于**“边”**。

任务：

利用现有的链接来预测新的链接的产生；我们需要评估所有为连接的节点对；并对他们进行排序，排名前K个为我们的预测结果；这里的重点是 “节点对” 特征的设计，我们可以将点A和点B的特征融合起来来作为“节点对”， 但失去了点之间的关系信息。

我们连接预测任务有两种类型：

随机缺失边预测：随机移除某些边，然后用机器学习方法尝试预测那些边；（蛋白质-蛋白质交互作用静态网络，探索蛋白质随机连接的种类）

随时间推移边预测：如果时间自然发展（如社交网络、协作网络），我们预测的边将在未来的时间出现，输入T0的图，预测T1时刻的边（随时间推移，人们认识的人会越来越多）

使用边的特征来完成任务：

为了更好的表示边的特征，我们对点进行相似性评分，计算两点间的相似性得分（如用共同邻居衡量相似性），然后将点对进行排序，得分最高的n组点对就是预测结果，与真实值作比。

1. 两点最短路径长度（Distance—base Feature）：

这种方式没有考虑两个点邻居的重合度，如B-H有2个共同邻居，B-E和A-B都只有1个共同邻居，但是分值却相同。

2. 节点的邻域重叠数（Local neighborhood Overlap Feature）：

Jaccard（杰卡德系数）将Common neighbors （普通系数）归一化了

Adamic—Adar index：降低邻居里有高度联系其他节点的“著名节点”影响，一堆度低的邻居比一堆“著名”邻居的得分更高。

3. 全局邻域重叠矩阵（Global neighborhood Overlap Feature）：

节点的邻域重叠数（Local neighborhood Overlap Feature）有个问题：当两个节点没有共同邻居，值为0，但是他们有可能是相互连接的。（如图，A和E的领域重叠是什么？他们没有共同的领域，A到E只有四跳，且C和D有可能相连，但在他们的值在节点的邻域重叠数的标准下为0）所以，我们考虑采用全局邻域重叠矩阵（Global neighborhood Overlap Feature）来解决这个问题。Katz index：计算点对之间所有长度的路径的条数（长度1路径数A+长度2路径数B+…长度n路径数C）

如何计算？邻接矩阵求幂！

$A_{uv}$代表u和v之间长度为1的路径的数量；

$P^{(K)}_{uv}$代表u和v之间的路径长度为K的数量；

$P^{(K)}=A^k$；计算A的k次幂，Auv将会告诉我们路径的数量；

$P^{(1)}_{uv}$=u和v之间路径长度为1的数量；

$P^{(2)}_{uv}$怎么算？

$P^{(2)}_{uv}=\sum_{i}A_{ui}*A_{iv}=A_{uv}^2$,更高的幂（更远的距离）就重复过程，继续乘起来;

所以我们可以得到Katz index的计算公式：

$S_{v1v2}=\sum _{l=1}^\infty \beta^l A_{v1v2}^l$

$S_{v1v2}$是$v1$和$v2$之间所有路径长度的路径数量，$\beta$是折扣系数，$0<\beta<1$,代表距离越远其影响值越小；

$S=\sum _{i=1}^\infty \beta^i A^i$

这里视频中讲的封闭式（closed-form），不太明白，上网搜了下，推导过程如下：