[注意：本文中所有的傅里叶变换和反变换均含对称因子$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$，且$z=e^{-ik\omega}$]
1. 多分辨率分析
1.1 概念
多分辨率分析指的是一系列$L^2(R)$的子空间$V_j$，每个子空间$V_{j+1}$都是它“上一级”子空间$V_j$的“精细化”：
(i) $V_j\subset V_{j+1}$ # 子空间逐级嵌套
(ii) $\overline{U_{j \in Z}V_j}=L^2(R)$ # 所有子空间的并“构成”$L^2(R)$。注意此处上横线不是求补的意思（待补充：）
(iii) $\cap_{j \in Z} V_j=\{0\}$ # 全部子空间的交为空集。可这样理解：交的结果趋向于最“不精细”的那个子空间$V_{-\infty}$
(iv) $f(t) \in V_0 \iff f(2^jt)\in V_j$ # 子空间之间存在“缩放”关系
对子空间$V_0$，存在一组尺度函数$\{ \phi (t-k) \}$作为规范正交基。
我们假定$\phi(t)$是实值且归一化的函数，那么下式成立：
$\int_R\phi(t)dt=\sqrt{2\pi}\Phi(0)=1$ # 傅里叶变换式取$\omega=0$即得
根据子空间之间的“包含”和“缩放”关系，可以写出空间$V_j$的规范正交基：
$\phi_{j,k}(t)=2^{j/2}\phi(2^jt-k)$
系数$2^{j/2}$使得时间尺度变换后的基的范数仍为1。
如果函数$f(t) \in \sum_{k \in Z}c_k\phi_{j,k}(t)$，那么可以写出$f(t)$在$V_j$的规范正交基上的投影：
$c_k=\langle f(t),\phi_{j,k}(t) \rangle$
因为各级子空间存在包含与被包含的关系，所以子空间$V_j$的基总可以用$V_{j+1}$的基的线性组合表示。例如：
$\phi (t) = \sqrt{2} \sum_{k \in Z} h_k \phi (2t-k)$
上式中，$h_k=\langle \phi(t), \phi_{1,k}(t) \rangle$
对于更一般的$\phi_j(t)$：
$\phi_j(t)=\sum_{k \in Z} h_k \phi_{j+1,k}(t)$
注意对上式中的各级子空间$V_0, V_1, ..., V_j, V_{j+1}, ...$，$h_k$总是相同的。
对于更更一般的$\phi_{j,k}(t)$，将$h_k$进行移位即可：
$\phi_{j,l}(t)=\sum_{k \in Z} h_{k-2l} \phi_{j+1, k}(t)$
考虑到各级子空间之间的尺度关系，$h$的下标为$k-2l$是自然的事。
系数$h_k$称为尺度滤波器，具有如下性质：
(i) $\sum_{k \in Z} h_k=\sqrt{2}$ # 为了保持归一化，$\sum h_k$必须等于$\sqrt{2}$。回想下HAAR的尺度滤波器系数
(ii) $\sum_{k \in Z} h_k h_{k-2l} = \delta(l)$ # 因为$\phi(t)$是正交基，所以距离为$2l$的权序列不相关
(iii) $\sum_{k \in Z} h_k^2=1$ # 为了保持尺度变换前后（尺度滤波器内的部分）能量不变
如果将$L^2(R)$上的任意函数$f(t)$投影到$V_j$：
$P_{f,j}(t)=\sum_{k \in Z}\langle f(t), \phi_{j,k}(t) \rangle\phi_{j,k}(t)$
如果我们有一个函数$f_{j+1}\in V_{j+1}$，那么有：
$f_{j+1}(t)=\sum_{k \in Z}a_k\phi_{j+1,k}(t)$
现在将$f_{j+1}(t)$投影到$V_j$：
$f_j(t)=\sum_{l\in Z}b_l\phi_{j,l}(t)$
为了求出$b_l$的表达式，我们可以这样考虑：
想象一下将$\phi_{j+1}$投影到$V_j$，每一个$\phi_{j+1}$都要用$\phi_j$的线性组合来表示。所以$\phi_{j,l}$前的系数是以$a_k$为权的$h_k$的线性组合（加上偏移量$2l$）：
$f_j(t)=\sum_{l\in Z}b_l\phi_{j,l}(t)=\sum_{l\in Z} \left( \sum_{k \in Z}a_kh_{k-2l} \right) \phi_{j,l}(t)$
1.2 小波函数
$\psi(t)=\sqrt{2}\sum_{k \in Z}g_k\phi(2t-k)$
$\psi_{j,k}(t)=2^{j/2}\psi(2^jt-k)$
$g_k=(-1)^kh_{1-k}$
$\psi_{j,l}(t)=\sum_{k \in Z}g_{k-2l}\phi_{j+1,k}(t)=\sum_{k \in Z}(-1)^k h_{1+2l-k}\phi_{j+1,k}(t)$
1.3 $\phi(t)$的symbol
上面我们将$\phi(t)$表示为
$\phi(t)=\sqrt{2}h_k\phi(2t-k)$
若将$h_k$记作$h(k)$，上面的式子就是一个卷积式子。于是经过一些简单变换就得到：
$\Phi(\omega)=H(\frac{\omega}{2})\Phi(\frac{\omega}{2})$
$H(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{k \in Z}h_ke^{-ik\omega}$
$\phi(t)$具有如下性质：
(i) $||\Phi||=1$ # 单位长度
(ii) $\Phi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$
(iii) $H(0)=1$ # 直流增益1
(iv) $H(\omega)$周期为$2\pi$ # $h$是离散的，所以这条显然
1.4 The Stability Function
根据空间$V_j$的基在时域的正交性质，可以推导出下式（The Stability Function）：
$\mathcal{A}(\omega)=\sum_{l \in Z} \left| \Phi(\omega + 2\pi l) \right| ^2=\frac{1}{2\pi}$
以HAAR小波为例，其频域为sinc函数，按$2\pi$移位平方累加，在整个频域为常数。
另一方面，在时域上有下式成立：
$\sum_{k \in Z}\phi(t-k)=1$
The Stability Function只需$\phi(t)$为正交基即可，不需要尺度条件。如果加上尺度条件，还有下面的式子：
$|H(\omega)|^2+|H(\omega+\pi)|^2=1$
如果一个函数的频谱满足上式及以下条件，那么该函数有与之对应的尺度函数：
(i) $H(0)=1$ # $h_k$过直流
(ii) 满足$H(z)=(\frac{1+z}{2})^NS(z)$，其中$max_{|z|=1}|S(z)|\le 2^{N-1}$
# 1. 系数$(\frac{1+z}{2})^N$使得$H(z)$为低通形式;
# 2. [1, 1]的z变换为$\frac{1+z}{2}$（考虑了归一化系数），所以$(\frac{1+z}{2})^N$可看作N组[1, 1]的卷积的z变换。
1.5 $g(t)$的symbol$G(\omega)$
$G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k \in Z} g_k e^{-ik\omega}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{k \in Z} (-1)^kh_{1-k}e^{-ik\omega}$
$G(\omega)$和$\Psi(\omega)$的性质
(i) $\Psi(\omega)=G(\frac{\omega}{2})\Phi(\frac{\omega}{2})$
(ii) $G(\omega)=-e^{-i\omega}\overline{H(\omega+\pi)}$
(iii) $G(0)=0$ # 高通效果
(iv) $\sum_{k \in Z}g_k=0$ # 直流增益0
(v) $\sum_{k \in Z}h_{2k}=\sum_{k \in Z}h_{2k+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
