96. Unique Binary Search Trees 不同的二叉搜索树

Title

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

动态规划

Solve

给定一个有序序列 1⋯n，为了构建出一棵二叉搜索树，我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，将 1⋯(i−1) 序列作为左子树，将 (i+1)⋯n 序列作为右子树，接着按照同样的方式递归构建左子树和右子树。

在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此能保证每棵二叉搜索树是唯一的。由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。

题目要求是计算不同二叉搜索树的个数。为此，可以定义两个函数：

1. G(n): 长度为 n 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。
2. F(i,n): 以 i 为根、序列长度为 n 的不同二叉搜索树个数 (1≤i≤n)。

可见，G(n) 是我们求解需要的函数。

稍后我们将看到，G(n) 可以从 F(i, n) 得到，而 F(i, n) 又会递归地依赖于 G(n)。

首先，根据上一节中的思路，不同的二叉搜索树的总数 G(n)，是对遍历所有(1≤i≤n)的 F(i, n) 之和。换言之：

∑ i = 1 n F ( i , n ) \sum_{i=1}^{n}F(i,n) i=1∑n​F(i,n)

对于边界情况，当序列长度为 1（只有根）或为 0（空树）时，只有一种情况，即：

G ( 0 ) = 1 , G ( 1 ) = 1 G(0)=1,G(1)=1 G(0)=1,G(1)=1

给定序列 1⋯n，我们选择数字 i 作为根，则根为 i 的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树，如下图所示：

举例而言，创建以 3 为根、长度为 7 的不同二叉搜索树，整个序列是 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，我们需要从左子序列 [1, 2] 构建左子树，从右子序列 [4, 5, 6, 7] 构建右子树，然后将它们组合（即笛卡尔积）。

对于这个例子，不同二叉搜索树的个数为 F(3, 7)。我们将 [1,2] 构建不同左子树的数量表示为 G(2), 从 [4, 5, 6, 7] 构建不同右子树的数量表示为 G(4)，注意到 G(n) 和序列的内容无关，只和序列的长度有关。于是，F(3,7)=G(2)⋅G(4)。 因此，我们可以得到以下公式：
F ( i , n ) = G ( i − 1 ) ⋅ G ( n − i ) F(i,n)=G(i−1)⋅G(n−i) F(i,n)=G(i−1)⋅G(n−i)将两个公式结合，可以得到 G(n) 的递归表达式：
G ( n ) = ∑ i = 1 n G ( i − 1 ) ∗ G ( n − i ) G(n)=\sum_{i=1}^{n}G(i-1)*G(n-i) G(n)=i=1∑n​G(i−1)∗G(n−i)至此，我们从小到大计算 G 函数即可，因为 G(n) 的值依赖于 G(0)⋯G(n−1)。

Code

    def numTrees(self, n: int) -> int:
        G = [0] * (n + 1)
        G[0], G[1] = 1, 1
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(1, i + 1):
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j]
        return G[n]

复杂度分析

时间复杂度 : O(n²)，其中 n 表示二叉搜索树的节点个数。G(n) 函数一共有 n 个值需要求解，每次求解需要 O(n) 的时间复杂度，因此总时间复杂度为 O(n²)。

空间复杂度 : O(n)。我们需要 O(n) 的空间存储 G 数组。