[每日一道小算法（六十八）][数学] 孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)（剑指offer题）

前言：
如果能用数学导出公式，将大大减少我们代码量。

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

如果没有小朋友，请返回-1

解题思路

这道题有两种方法，楼主本人都实现了，一会贴出来代码。

方法一：我们可以一个环链表来模仿这个圈，模仿这个·过程即可完成目标题解。我的实现是使用list，遍历到数组末尾之后再重新从头遍历。模拟这个过程。

方法二：这个就需要我们的数学功底了。需要推导出一个递推公式。我们首先定义一个关于n,m的方程f(n,m)，表示每次在n个数字0，1，…，n-1中删除第m个数字最后剩下的数字。在这n个数字中，第一次被删除的数字是（m-1）%n。假设这个数字是k。那么删除k之后剩下的数字为0，1，…，k-1，k+1，n-1。最初序列最后剩下的数字f(n,m) 一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字，即f(n,m) = f(n-1,m)。

最终我们推出的递推公式为：

代码样例

方法一 链表模拟

package com.asong.leetcode.ChildrenGame;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * 孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)
 * 思路：使用list模拟环
 */
public class Solution1 {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n<1||m<1)
        {
            return -1;
        }
        List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            list.add(i);
        }
        int cur = -1; //指针
        while(list.size()>1)
        {
            for (int i = 0; i < m; i++) {
                cur++;
                if(cur==list.size())
                {
                    cur=0;//从头开始
                }
            }
            list.remove(cur);
            cur--;//保证移动m个准确性
        }
        return list.get(0);
    }
}

方法二：递推公式

package com.asong.leetcode.ChildrenGame;

/**
 * 孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)
 * 递推公式：f[n]=0; n =1
 * f[n]=(f[n-1]+m)%n; (n>1)
 *
 */
public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n<1||m<1)
        {
            return -1;
        }
        int res = 0;
        for (int i = 2; i <=n; i++) {
            res = (res+m)%i;
        }
        return res;
    }
}