动态规划算法
动态规划算法介绍
- 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。
- 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这 些子问题的解得到原问题的解。
- 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
- 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。
- 动态规划本质是递推，核心是找到状态转移的方式,写出dp方程。
动态规划算法最佳实践-背包问题
背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品
- 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
- 要求装入的物品不能重复
思路分析和图解：
- 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价 值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
- 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
- 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品 放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令
v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
(1) v[i][0]=v[0][j]=0; // 表示填入表第一行和第一列是0
(2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品i的容量w[i]大于当前背包的容量j时，就直接使用上一个单元格的装入策略v[i][j]=v[i-1][j]
(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当准备加入的新增商品i的容量w[i]小于等于当前背包的容量j时:
// 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i]: 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]]： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值
因此，当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} 取二者较大值
- 图解的分析：背包的填表过程
动态规划-背包问题的代码实现
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
int[] w = { 1, 4, 3 };// 记录物品的重量
int[] val = { 1500, 3000, 2000 }; // 记录物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
int m = 4; // 记录背包的容量
int n = val.length; // 物品的个数
// 创建二维数组，
// v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
// 为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
// 初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0; // 将第一列设置为0
}
for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
v[0][i] = 0; // 将第一行设置0
}
// 根据前面得到公式来动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) { // 不处理第一行 i是从1开始的
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {// 不处理第一列, j是从1开始的
// 公式
// 当准备加入新增的商品i的容量w[i]大于当前背包的容量j时，就直接使用上一个单元格的装入策略v[i][j]=v[i-1][j]
if (w[i - 1] > j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
v[i][j] = v[i - 1][j];
} else {
// 说明:
// 因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
// v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
// v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
// 为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
// 把当前的情况记录到path，仅仅是为了打印查看效果方便，不影响算法思路
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
// 输出一下v 看看目前的情况
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
// 输出下path
System.out.println("-----------------------");
for (int i = 0; i < path.length; i++) {
for (int j = 0; j < path[0].length; j++) {
System.out.print(path[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("============================");
// 输出最后我们是放入的哪些商品
// 遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
// for(int i = 0; i < path.length; i++) {
// for(int j=0; j < path[i].length; j++) {
// if(path[i][j] == 1) {
// System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
// }
// }
// }
// 动脑筋
int i = path.length - 1; // 行的最大下标
int j = path[0].length - 1; // 列的最大下标
while (i > 0 && j > 0) { // 从path的最后开始找
if (path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
j -= w[i - 1]; // w[i-1]
}
i--;
}
}
}
