标题：CoBigICP: Robust and Precise Point Set Registration using Correntropy Metrics and Bidirectional Correspondence
作者：Pengyu Yin, Di Wang, Shaoyi Du, Shihui Ying, Yue Gao, and Nanning Zheng， Xi’an Jiaotong University
来源：IROS 2020
编译：曹明
审核：lionheart
摘要
在这篇文章中，我们提出了一个全新的ICP(Iterative Closest Point)、基于概率的变体，称之为CoBigICP。这个方法充分利用了点云的局部几何特性以及点云的全局噪声特性。从局部范围看，该方法的目标函数通过双向匹配，集成了源点云(source point cloud)与目标点云(target point cloud)的三维结构特征；全局范围来看，该方法引入了相关熵（correntropy）的误差度量来作为噪声模型，以排除外点。这篇文章还展示了正态分布变换（Normal distributions transform, NDT）与相关熵的紧密相似性。为了简化优化过程，我们还提出了一种在特殊欧式群上的流形上的参数化方法。一系列实验表明了CoBigICP比目前最先进的方法要好。
主要贡献
1. 本文提出的算法利用了双向匹配的方法来构建一个对称模型。
2. 利用相关熵来作为一个鲁棒的误差度量，并证明了其有效性。我们还展示了NDT与相关熵的相似性。
3. 本文提出了一种基于流形上的参数化方法来求解该问题。
方法概览
A．双向匹配
在传统的ICP匹配问题中，给定源点云，则会从目标点云中寻找与源点云里每个点ai最近的一个点bcf(i)，作为源点云的匹配，其公式表达为：
其中，T为源点云与目标点云的三维变换。如此，便找到了一个目标点云的子集bcf，以及一个映射
。
而在本文的的方法中，还进行了一次反向的查找。即对上述点集bcf中的每一个点，去寻找源点云里的与其最近的一个点acb，构成新的点集acb与一个新的映射
。
那么，原映射
里的匹配，是源点云到目标点云的有效匹配的条件为，对于源点云里每个点，经过反向查找得到的与其距离小于一个固定的阈值，如下式所示。
总而言之，本文为了得到有效的点云匹配，进行了正向与反向的查找，并通过反向查找的结果筛选正向查找的匹配。
在得到有效匹配后便定义目标函数。与通常的点到面的icp函数不同，本文的目标函数也包含双向匹配的过程。传统的点到面的icp的目标函数为：
而本文的目标函数还包含了一次目标点云到源点云的匹配，其表达式为
整理一下，可以得到
B．相关熵度量
传统的ICP算法的误差度量是用均方根误差，这种方法不能够很好的应对外点(由传感器噪声或者其他原因导致的误匹配)，因此后来有许多改进的方法，例如给误差添加核函数等。相关熵也是一个适应外点的鲁棒误差度量。
根据文献[12],给定点集x，y，并且保证其顺序对应关系，则这两个点集的相关熵可以用公式表达为
其中，
是一个协方差为σ的高斯函数。那么，本文的目标函数可以再次表示为
再看NDT这里。NDT的核心思想是将源点云先离散成一个个栅格，每个栅格内计算出落在栅格内的点的高斯分布的参数，并使得目标点云经过变换后，使得每个点落在对应的栅格的概率最大。为了使得NDT能够鲁棒应付外点的影响，NDT内每个栅格不是标准的高斯函数，而是以下的形式：
其中p0是外点的比例（先验），c1，c2是对应的使得概率密度积分为1的参数。这个形式其实没有简单的一阶导与二阶导，因此不利于优化。NDT的做法是，将上述函数的负对数形式用另一个近似函数去拟合，即为：
本文认为公式17其实是和公式13是有相同的形式的，都是关于误差的二次型，公式17中的d2就是公式13中的σ的作用。不同点在于，根据相关熵的求解理论，σ是可以根据优化来进行调整的，而d2由外点的比例决定，在NDT中是不变的，因此本文认为本文的算法优于NDT。
C. 基于李代数的流形上的求解器
根据李群理论，对某个位姿T进行扰动，得到的近似旋转与位移为：
代入ICP的目标函数，对应有
带入到公式18中，有
本文这里给出了CoBigICP的的解析解，相较于传统的基于梯度的求解算法，运算速度要快很多。
实验
本文首先将CoBigICP与GICP，NDT与MiNoM方法进行点云的配准结果比较，比较的指标为计算相对位置误差（Relative Pose Error, RPE）。其中CoGICP方法为使用了双向匹配的GICP方法，主要是为了验证相关熵对性能提升的有效性。本文在ETH Hauptgebaude 数据集以及Gazebo Summer数据集上验证了本文提出的算法的有效性。
接着本文测试了不同的方法对初始位姿扰动的稳定性，如下图所示
图中的x轴表示平移或者旋转误差，而y轴表示在ETH Hauptgebaude数据集上进行配准得到的误差小于等于对应x轴的误差的概率。从中可以看出，CoBigICP对平移的扰动的稳定性最好，而对旋转的扰动也有较好的效果。
Abstract
In this paper, we propose a novel probabilistic variant of iterative closest point (ICP) dubbed as CoBigICP.
The method leverages both local geometrical information and global noise characteristics. Locally, the 3D structure of both target and source clouds are incorporated into the objective function through bidirectional correspondence. Globally, error metric of correntropy is introduced as noise model to resist outliers. Importantly, the close resemblance between normal-distributions transform (NDT) and correntropy is revealed. To ease the minimization step, an on-manifold parameterization of the special Euclidean group is proposed. Extensive experiments validate that CoBigICP outperforms several well-known and state-of-the-art methods.
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