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统计推断是通过样本推断总体的分布或者分布的数字特征。
3.参数估计
已知一个总体的分布类型，但是对分布里面的参数不清楚，如泊松分布P(
),正态分布的N(
),这时候需要对这些未知参数进行估计。
3.1 点估计
点估计：以某个适当的统计量的估测值作为未知参数的估计值
3.1.1 矩估计
矩估计法是用样本n阶矩去估计总体n阶矩，n的大小由未知参数决定，在估计的过程中，解得未知参数。
例子：
1.泊松分布矩估计：已知总体X~P(
)[泊松分布],现有样本
,求
的矩估计量。
首先只有一个未知参数，一阶矩（期望）可以解决，泊松分布的一阶矩为：
其次样本的一阶矩是
令总体的一阶矩等于样本的一阶矩，即
，解得
估计量（记为
）为：
2.正态分布矩估计：已知总体X~N(
)[正态分布],现有样本
,求
和
的矩估计量。
两个未知参数，用一阶原点矩和二阶原点矩解决。并使总体的相应矩等于样本矩，建立其方程组后，解出两个参数。
解得：
和
特点：
1.矩估计的方法依赖于抽取的样本，不同的样本对应不同的参数估计值，所以具有一定随意性 2.使用矩估计要求总体存在原点矩，有些随机变量（如柯西分布）的原点矩不存在，因此无法使用矩估计
3.1.2 极大似然估计
极大似然估计始于高斯误差理论，直观的想法是目前为止所观测到的事件是最有可能出现的事件。比如你和职业车手比赛，有一人赢了，我们总是倾向于是职业车手赢得比赛。
设总体含有待估计参数
,他可以取很多值，在这很多值值中取出 使得样本出现 的概率最大的那些值，称这些值
为
的极大似然估计。例子：
1.泊松分布极大似然估计：已知总体X~P(
)[泊松分布],现有样本
,求
的极大似然估计值。
已知泊松分布的分布律为：
首先得到似然方程，该批次观测值出现的概率为所以事件的概率乘积，即
取对数得：
由于L和lnL在同一个
有极值，因此为了求L的极值，可以对lnL使用极限的思想进行分析。
解得
的极大是然估计值（记为
）：
特点：
1.不要求总体原点矩存在 2.需要求解似然方程
3.1.3 估计量的评选标准
1.无偏性
假设每次抽样，对参数
均有一个估计值，记为
,若取所有估计值的期望是对参数的
正确无偏估计，即
,则
为
的无偏估计量。2.有效性
多次抽样，使用不同的方法计算得到多组
的估计量，这两组中较稳定的（即方差小）较其他组更为有效的估计。方差反映估计值在真实值附近更为“集中”。
3.一致性（相合性） 毫无疑问，抽取样本的容量越大，对未知参数的估计越接近真实值，估计量的这种性质称为一致性（相合性）
相合估计量：
设
为未知参数
的估计量，若
依概率收敛于
,则对任意
,有
此时，称
为
(弱)相合估计量。
注：
1.一般而言，三个估计量评选标准只要满足前面两个标准就不错了，因为使用一致性要求样本容量足够大
3.2 区间估计
区间估计：用两个统计量的观测值确定的区间来估计未知参数的大致范围,并给出未知参数落在此区间的概率。
定义
对于事先指定的概率
,若有对未知参数
的统计量
和
，使得：
那么
为
置信水平为
的置信区间，在
和
为置信上下限，在
为置信区间长度。
3.2.1 单正态总体参数的区间估计
均值区间估计
（1）总体方差已知，求
的区间估计
总体服从正态分布且方差
已知时，或者总体不是正态分布但是为大样本时，样本的均值
的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体的均值
，方差为
.样本均值经过标准化后的随机变量则服从标准正态分布，即：
根据标准正态分布性质，概率密度关于y轴对称，可得到以下式子：
解释如下：
标准正态分布的概率密度函数
已知概率密度函数下的面积为该变量出现的概率，假设区域2，3的面积和为
，则区域1，4的面积和为
。由于对称关系，1，4各为
，
为置信度，会提前告知，所以现在是已知概率，要求得随机变量上（即x轴）上对应的位置，如上图的u竖线与x轴的相交点位置。这个只需去查正态分布表。如
时，
,去该表中查得总体在(0,
)之间对于的随机变量位置为1.96.
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所以，对于公式1，
是根据置信水平
确定的，解出不等式为：
所以，置信度为
的总体正态分布的置信区间为
例子：假设随机事件总体满足正态分布N(
,0.05),一次抽样个数n=5,均值为
,求其置信度为98%的置信区间？
解：
,查表得
,代入式子得置信区间为
-->表示总体的分布中，未知参数
有98%的概率落在区间
.
（2）总体方差未知，求
的区间估计总体的方差
未知，样本的方差
可以作为
的无偏估计，构造估计量：
参考连续型概率分布的T分布分析可知：T的概率密度函数的形状类似于均值为0方差为1的正态分布，但更低更宽。所以对于置信度为
的置信区间为：
其中
根据n和
查T分布的临界值表可知。
3.2.1 双正态总体参数的区间估计
多因素引发质量指标X的变化，若X服从正态分布，则需要对两个正态分布的总体的均值差或方差比给出区间估计。
3.2.1.1 双正态总体均值差的区间估计
a.已知
给定置信水平
，得以下式子：
得置信区间为：
例子：
假设有两批抽样的玩具，其重量如下： 3 6 3 4 5 4 5 6 4 7 8 6 假设这两批样本分别满足正态分布N(
,3),N(
,7),求两批样本置信水平为98%的总体重量均值差的区间估计。
解： 由两个样本可知，
,代入置信区间计算式，得置信区间为：
a.未知
同单总正态参数估计一样，根据t分布的对称性，给出置信水平为
的置信区间为：
3.2.1.2 双正态总体方差比的区间估计
构造统计量：
给定置信水平1-\alpha,得：
解出区间为：
该公式的大部分参数可以通过统计两次抽样得到,
等值查F分布临界值表得到。
3.3 (0-1)分布参数的区间估计
设有容量n>50的大样本，它来自(0-1)分布的总体X，Y的分布律为:
其中p是未知参数，现在求p的置信水平为
的置信区间。
由于样本量很大，根据中心极限定理得：
近似满足N(0,1)分布，有式子：
不写具体推导过程了（可参考百度文库），直接写区间估计结果：
其中
例子：
设有一批产品有100个，其中良品60个，求这批产品中置信区间为95%的良品率区间估计。解： 可知：n=100,
计算得：a=103.84,b=-123.84,c=36,代入式子2，得到：
置信95%的良品率置信区间为**[0.50,0.69]**
