文章目录
- （一）SPFA算法
- 1.1 邻接矩阵存图
- 1.1.1 核心算法
- 1.2 邻接表存图
（一）SPFA算法
【前言】：上一篇的Bellman_ford算法就可以解决求图中含有负权边时的最短路径，但我们可以看到Bellman_ford算法是一个三重循环，如果数据量大的话，它的效率非常低（当然，本来效率就低）。而SPFA算法就是对Bellman_ford算法的一个优化。SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。
【算法思想】：动态逼近法，用一个先进先出的队列来存各结点，每次取队首元素作为一个中转站，如果一个结点i直接到源点的距离大于i结点经过这个中转站再到源点的距离，就进行松弛操作，即：将dis[i]减小到dis[x]+mp[x][i]。SPFA算法也可以用来判断是否含有负权回路，如果一个结点入队次数大于节点总和数，就说明有负权回路。
1.1 邻接矩阵存图
用邻接矩阵存图唯一的好处就是简单好理解，但它太浪费空间，而且容易使算法超时；
1.1.1 核心算法
用队列来存各结点，每次取出队首元作中转站，判断这个中转站是否会缩小结点i到源点的距离,如果会，就进行松弛操作，
将dis[i]减小到dis[x]+mp[x][i]，然后把没有入队元素入队，并记录它入队次数，如果一个结点的入队次数大于n次，就说明有负权回路，不能求最短路径;重复操作，直到队列为空；
queue<int> q;
q.push(1);
dis[1] = 0;
vis[1] = true;
sum[1] = 1;
while (!q.empty())
{
int a = q.front();//取队列首元作中转站；
q.pop();
vis[a] = false;//删除标记
for (i = 1; i <= n; i++)
{
if (mp[a][i] != INF)//如果这个中转站和i结点直接相连，就执行以下操作；
{
if (dis[i] > dis[a] + mp[a][i])//中转站会缩短i到源点的距离，dis数组就进行更新
{
dis[i] = dis[a] + mp[a][i];
if (vis[i] != true)//把没有入队列的元素入队列;
{
q.push(i);
vis[i] = true;
sum[i]++;
if (sum[i] >= n)//有负权回路；
return true;
}
}
}
}完整代码实现：
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
#define N 1000
#define INF 0x3f3f3f3f
int mp[N][N];//用邻接矩阵存图；
int dis[N];//记录各点到源点的距离；
bool vis[N];//标记各点是否放入队列；
int sum[N];//记录各点入队次数，如果一个点的入队次数大于节点的总个数，就说有负权回路；
void inin(int n)//初始化
{
int i, j;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = 1; j <= n; j++)
{
if (i == j)
mp[i][j] = 0;
else
mp[i][j] = INF;
}
}
}
bool SPFA(int n)
{
int i;
memset(vis, false, sizeof(vis));//初始化为false，表示各个节点都没有入队列；
memset(sum, 0, sizeof(sum));//初始化，每个结点入队列次数都是0
fill(dis, dis + N, INF);//初始化，每个结点到源点的距离的无穷大
queue<int> q;
q.push(1);
dis[1] = 0;
vis[1] = true;
sum[1] = 1;
while (!q.empty())
{
int a = q.front();//取队列首元作中转站；
q.pop();
vis[a] = false;//删除标记
for (i = 1; i <= n; i++)
{
if (mp[a][i] != INF)//如果这个中转站和i结点直接相连，就执行以下操作；
{
if (dis[i] > dis[a] + mp[a][i])//中转站会缩短i到源点的距离，dis数组就进行更新
{
dis[i] = dis[a] + mp[a][i];
if (vis[i] != true)//把没有入队列的元素入队列;
{
q.push(i);
vis[i] = true;
sum[i]++;
if (sum[i] >= n)//有负权回路；
return true;
}
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
int n, m, w;
int i, j, k;
int a, b, c;
cin >> n >> m >> w;//n个结点，m个双向正权路径；w个单向负权回路；
inin(n);
for (i = 0; i < m; i++)
{
cin >> a >> b >> c;
mp[a][b] = mp[b][a] = c;
}
for (i = 0; i < w; i++)
{
cin >> a >> b >> c;
mp[a][b] =-c;
/*mp[b][a] = -c;*/
}
cout << "是否有负权回路：";
if (SPFA(n))
{
cout << "YES" << endl;//如果存在负权回路，就输出YES，此时无法求最短路径；
}
else
{
cout << "NO" << endl;
cout << "结点n到源点的最短路径是：";
cout << dis[n] << endl;
}
return 0;
}1.2 邻接表存图
邻接表存图，就是用vector容器模拟链表，当然，也可以直接用链表，但是链表每次都需要开辟新结点，浪费时间，可能会导致算法超时；
用邻接表存图时，每次取出来的队首元素是一个结点；
mp[a].push_back(node(b, c));表示a到b的距离为c；
#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
#define N 1000
#define INF 0x3f3f3f3f
int dis[N];
int sum[N];
bool vis[N];
struct node
{
int to;//该结点指向的结点；
int v;//这条边的权值；
node(int a, int b)//对结构体进行赋值；
{
to = a;
v = b;
}
};
vector<node> mp[N];//node类型的vector动态数组;
bool SPFA(int n)
{
int i;
queue<node> q;//ndoe类型的队列；
memset(vis, false, sizeof(vis));
memset(sum, 0, sizeof(sum));
fill(dis, dis + N, INF);
q.push(node(1, 0));//将源点入队
dis[1] = 0;
vis[1] = true;
sum[1] = 1;
while (!q.empty())
{
node t = q.front();//取出队首元；作中转站;
q.pop();
vis[t.to] = false;
for (i = 0; i <mp[t.to].size(); i++)
{
node k = mp[t.to][i];//k.v就表示t.to到i结点的距离；
if (k.v != INF)
{
if (dis[k.to] > dis[t.to] + k.v)
{
dis[k.to] = dis[t.to] + k.v;
if (vis[k.to] != true)
{
q.push(node(k.to, k.v));
sum[k.to]++;
vis[k.to] = true;
if (sum[k.to] >= n)
return true;
}
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
int i, j;
int a, b, c;
int n, m, w;
cin >> n >> m >> w;
for (i = 0; i < N; i++)
{
mp[i].clear();
}
for (i = 0; i < m; i++)
{
cin >> a >> b >> c;
mp[a].push_back(node(b, c));
mp[b].push_back(node(a, c));
}
for (i = 0; i < w; i++)
{
cin >> a >> b >> c;
mp[a].push_back(node(b, -c));
}
cout << "是否有负权回路：";
if (SPFA(n))
{
cout << "YES" << endl;
}
else
{
cout << "NO" << endl;
cout << "结点n到源点的最短路径是：";
cout << dis[n] << endl;
}
return 0;
}测试样例：
1
输入：3个结点，2条双向正权路径，1条单向负权路径；
3 2 1
1 2 3
2 3 4
3 1 8输出：
是否有负权回路：YES
2
输入：3个结点，3条双向正权路径，1条单向负权路径；
3 3 1
1 2 2
1 3 4
2 3 1
3 1 3输出：
是否有负权回路：NO
结点n到源点的最短路径是：3
