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一、序列傅里叶变换与反变换


在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 ) 的介绍了如下内容 :

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn



傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega x(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω






二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系


序列绝对可和 与 存在傅里叶变换 :

  • 如果 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
  • 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 δ ( ω ) \delta(\omega) δ(ω) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;


序列绝对可和可以表示成 :

∑ n = − ∞ + ∞ ∣ x ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty n=−∞∑+∞∣x(n)∣<∞






三、序列傅里叶变换性质


x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换是 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) , 有如下性质 :

  • 连续性 : 序列 x ( n ) x(n) x(n) 是离散的 , 其 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 对 ω \omega ω 来说是连续的 ;
  • 周期性 : X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 是周期的 , 其周期是 2 π 2\pi 2π , 其主值区间为 [ − π , π ] [- \pi , \pi] [−π,π] ;

X ( e j ω ) = X ( e j ( ω + 2 M π ) ) X(e^{j\omega}) = X(e^{j( \omega + 2M\pi )}) X(ejω)=X(ej(ω+2Mπ))

其中 M M M 是整数 ; e − j ω n e^{-j\omega n} e−jωn , 将 ω = 2 π M \omega = 2\pi M ω=2πM 带入即可得到其是以 2 π 2\pi 2π 为周期的 ;

  • 周期独立性 :在 相同周期 内的 各个频率 彼此独立 , 频率列举 :
  • 数字角频率域 , 即 ω \omega ω 域
  • 直流分量角频率 在 ω = 2 M π \omega = 2M\pi ω=2Mπ , π \pi π 的偶数被上 ;
  • 信号 最高角频率 在 ω = ( 2 M + 1 ) π \omega = (2M + 1 )\pi ω=(2M+1)π , π \pi π 的奇数倍 上 ;

数字角频率 ω \omega ω , 与 模拟角频率 Ω \Omega Ω 之间的关系 :

ω = Ω T \omega = \Omega T ω=ΩT

直流就是 ω = 2 π f \omega = 2 \pi f ω=2πf 中的 数字频率 f = 0 f = 0 f=0 ;

直流的时候 , 数字频率 f f f 为 0 0 0 , 则数字角频率 ω \omega ω 也为 0 0 0 ;



证明 " 直流分量角频率 在 ω = 2 M π \omega = 2M\pi ω=2Mπ " :

直流分量 角频率 在 π \pi π 的偶数倍上 , 角频率 是以 2 π 2\pi 2π 为周期的 , 周期信号的 组织是 [ − π , π ] [-\pi , \pi] [−π,π] ,

在 横轴为 ω \omega ω 角频率 , 纵轴为 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 的坐标系中 , 横坐标 ω = 0 \omega = 0 ω=0 位置的值对应 ω = 2 π \omega = 2 \pi ω=2π 和 ω = − 2 π \omega = -2\pi ω=−2π , 这 3 3 3 个横坐标位置的纵坐标值相等 , 直流分量 永远在 π \pi π 的偶数倍上 ;



证明 " 最高频率分量 在 π \pi π 的奇数倍上 " :

根据 ω = Ω T \omega = \Omega T ω=ΩT , 计算 ω = π \omega =\pi ω=π 点对应的 模拟频率 ,

ω = Ω T = π \omega = \Omega T = \pi ω=ΩT=π

模拟角频率 Ω = π T \Omega = \cfrac{\pi}{T} Ω=Tπ , 其中 T T T 是采样周期 , 单位是秒 ;

则采样率 F s = 1 T F_s = \cfrac{1}{T} Fs=T1 , 单位是 H z Hz Hz , 每秒采集多少样本 ;

Ω = π T = Ω s 2 \Omega = \cfrac{\pi}{T} = \cfrac{\Omega_s}{2} Ω=Tπ=2Ωs , 其中 Ω s \Omega_s Ωs 是采样角频率 ;

模拟角频率是 Ω = 2 π f \Omega = 2\pi f Ω=2πf , 其中 Ω \Omega Ω 是模拟角频率 , f f f 是模拟频率 ;

Ω s = 2 π F s = 2 π T \Omega_s = 2\pi F_s = \cfrac{2\pi}{T} Ωs=2πFs=T2π

根据采样定理 , Ω s ≥ Ω m a x \Omega_s \geq \Omega_{max} Ωs≥Ωmax , Ω s \Omega_s Ωs 是采样角频率 要大于等于 Ω m a x \Omega_{max} Ωmax 最高频率 ;

Ω m a x \Omega_{max} Ωmax 最高频率 就是 Ω s 2 \cfrac{\Omega_s}{2} 2Ωs , 其中 Ω s \Omega_s Ωs 是采样角频率 ;



参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;