【数字信号处理】周期延拓 ( 周期延拓的两种情况 | L ≥ N | L ≤ N )

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一、周期延拓

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非周期的信号 通过 周期延拓 可以变为 周期信号 ;

周期延拓 : 非周期序列 构成 周期序列 的过程 ;

非周期序列

x ( n )    [ 0 , N − 1 ] x(n) \ \ [0, N-1] x(n)  [0,N−1]

非周期序列图示 :

以 L L L 为周期 , 进行 周期延拓 , 则有 :

x ~ ( n ) = ∑ i = − ∞ + ∞ x ( n − i L ) \widetilde x(n) = \sum ^{+\infty} _{i = -\infty} x(n - iL) x (n)=i=−∞∑+∞x(n−iL)

就是将 长度为 N N N 的有限序列 进行 平移 , 向 坐标横轴 的各处平移 , 每次平移至少要 L L L 的整数倍 ;

很容易就可以想到 , 如果 L L L 比序列的个数 N N N 大 , 则序列之间的值不会重叠 , 如果 L L L 比序列的个数 N N N 小 , 平移后可能出现序列重叠的情况 ;

二、周期延拓分两种情况

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周期延拓分两种情况 :

情况一 : 当 L ≥ N L \geq N L≥N 时 , 有 x ~ ( n ) = x ~ ( n ) R N ( n ) \widetilde x(n) = \widetilde x(n) R_N(n) x (n)=x (n)RN(n) ;

这种情况下的 周期延拓 可以恢复成原来的 非周期序列 ;

情况二 : 当 L ≤ N L \leq N L≤N 时 , 有 x ~ ( n ) ≠ x ~ ( n ) R N ( n ) \widetilde x(n) \not= \widetilde x(n) R_N(n) x (n)=x (n)RN(n)

这种情况下的 周期延拓 无法恢复成原来的 非周期序列 ;

该情况下 , 最终平移完成的信号中 , 有 序列元素重叠 情况 , 重叠的元素需要进行 加和操作 , 二者相加后 , 得到绿色的线就是最终的 周期延拓 后的结果 , 显然该序列 无法恢复成原来的非周期序列 ;