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一、序列傅里叶变换共轭对称性质 推论
推论一 : 序列 x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭序列 x ∗ ( n ) x^*(n) x∗(n) 的 傅里叶变换 :
x ∗ ( n ) ⟷ S F T X ∗ ( e − j ω ) x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x∗(n)⟷SFTX∗(e−jω)
推论二 : 原序列为 x ( n ) x(n) x(n) , 则 x ∗ ( − n ) x^*(-n) x∗(−n) 的 傅里叶变换 :
x ∗ ( − n ) ⟷ S F T X ∗ ( e j ω ) x^*(-n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{j \omega}) x∗(−n)⟷SFTX∗(ejω)
二、证明推论一
证明推论一 : 序列 x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭序列 x ∗ ( n ) x^*(n) x∗(n) 的 傅里叶变换 :
x ∗ ( n ) ⟷ S F T X ∗ ( e − j ω ) x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x∗(n)⟷SFTX∗(e−jω)
根据 傅里叶变换的公式 :
S F T [ x ( n ) ] = X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
以及共轭的性质 :
( a + b ) ∗ = a ∗ + b ∗ ( a + b )^* = a^* + b^* (a+b)∗=a∗+b∗
x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换为 :
S F T [ x ( n ) ] = X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
x ∗ ( n ) x^*(n) x∗(n) 的傅里叶变换为 :
S F T [ x ∗ ( n ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) e − j ω n SFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n} SFT[x∗(n)]=n=−∞∑+∞x∗(n)e−jωn
将共轭提取到外部 , e − j ω n e^{-j \omega n} e−jωn 就变成 e j ω n e^{j \omega n} ejωn 了 , 可得到 :
S F T [ x ∗ ( n ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) e − j ω n = [ ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e j ω n ] ∗ SFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n} = [ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega n} ] ^* SFT[x∗(n)]=n=−∞∑+∞x∗(n)e−jωn=[n=−∞∑+∞x(n)ejωn]∗
最终得到 :
x ∗ ( n ) ⟷ S F T X ∗ ( e − j ω ) x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x∗(n)⟷SFTX∗(e−jω)
