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参考博客 : 按照顺序看
- 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
- 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
- 【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )
- 【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 )
- 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )
- 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )
- 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 )
- 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )
- 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )
- 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )
- 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )
- 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )
- 【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数概念 | 排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数 | 指数生成函数示例 )
- 【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数性质 | 指数生成函数求解多重集排列 )
一、指数生成函数求解多重集排列示例
使用
1
,
2
,
3
,
4
1,2,3,4
1,2,3,4 四个数字组成五位数 , 要求
1
1
1 出现次数不能超过
2
2
2 次 , 但必须出现 ,
2
2
2 出现次数不超过
1
1
1 次 ,
3
3
3 出现次数最多
3
3
3 次 ,
4
4
4 出现偶数次 ,
求上述五位数的个数 ;
这就是一个求解 多重集排列 的题目 , 使用 指数生成函数 ;
一共有 5 5 5 个位置 , 使用 1 , 2 , 3 , 4 1,2,3,4 1,2,3,4 向这 5 5 5 个位置中填充 ,
选取个数分析 :
1 1 1 出现不超过 2 2 2 次 , 不能不出现 , 也就是必须大于 0 0 0 , 则可选取的个数是 1 , 2 1,2 1,2 ,
2 2 2 出现不超过 1 1 1 次 , 可选取个数 0 , 1 0,1 0,1 ,
3 3 3 出现可以达到 3 3 3 次 , 可选取的个数 0 , 1 , 2 , 3 0,1,2,3 0,1,2,3 ,
4 4 4 出现偶数次 , 可选取个数是 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , ⋯ 0, 2, 4, 6, 8, \cdots 0,2,4,6,8,⋯ , 这里注意一共选择 5 5 5 个 , 最终求解多重集时 , 主要是看 x 5 x^5 x5 前的次幂数 , 因此这里的 可选取个数就是单个因式中的 x x x 次幂数 , 没必要超过 5 5 5 , 选择 0 , 2 , 4 0,2,4 0,2,4 即可 ;
按照下面的模型 , 写出指数生成函数 ;
多重集 S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯ , n k ⋅ a k } S=\{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}
多重集 S S S 的 r r r 排列数 组成数列 { a r } \{ a_r \} {ar} , 对应的指数生成函数是 :
G e ( x ) = f n 1 ( x ) f n 2 ( x ) ⋯ f n k ( x ) G_e(x) = f_{n_1}(x) f_{n_2}(x) \cdots f_{n_k}(x) Ge(x)=fn1(x)fn2(x)⋯fnk(x) ★
其中每个生成函数项 f n i ( x ) f_{n_i}(x) fni(x) 是
f n i ( x ) = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n i n i ! f_{n_i}(x) = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^{n_i}}{n_i!} fni(x)=1+x+2!x2+⋯+ni!xni ★
将 G e ( x ) G_e(x) Ge(x) 展开 , 其中的 r r r 系数就是多重集的排列数 ; ★
指数生成函数写法 :
① 确定生成函数项个数 : 多重集元素种类个数
② 确定生成函数项中的分项个数 : 选取值 个数 ;
③ 分项格式 : x n n ! \cfrac{x^n}{n!} n!xn
④ 分项次幂 : 选取值 ;
总共有 4 4 4 种元素 1 , 2 , 3 , 4 1,2,3,4 1,2,3,4 , 因此生成函数是 4 4 4 个生成函数项相乘 ;
1 1 1 元素对应的生成函数项 :
- 选取值 : 1 , 2 1,2 1,2
- 最终结果 :
x
1
1
!
+
x
2
2
!
=
x
+
x
2
2
!
\cfrac{x^1}{1!} + \cfrac{x^2}{2!} = x + \cfrac{x^2}{2!}
1!x1+2!x2=x+2!x2
2 2 2 元素对应的生成函数项 :
- 选取值 : 0 , 1 0,1 0,1
- 最终结果 :
x
0
0
!
+
x
1
1
!
=
1
+
x
\cfrac{x^0}{0!} + \cfrac{x^1}{1!} = 1 + x
0!x0+1!x1=1+x
3 3 3 元素对应的生成函数项 :
- 选取值 : 0 , 1 , 2 , 3 0,1,2,3 0,1,2,3
- 最终结果 :
x
0
0
!
+
x
1
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
\cfrac{x^0}{0!} + \cfrac{x^1}{1!} + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!} = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!}
0!x0+1!x1+2!x2+3!x3=1+x+2!x2+3!x3
4 4 4 元素对应的生成函数项 :
- 选取值 : 0 , 2 , 4 , 6 , ⋯ 0,2,4,6 , \cdots 0,2,4,6,⋯ , 这里只选取 5 5 5 个 , 求 x x x 的次幂的 5 5 5 前的系数 , 这里只需要选取到 0 , 2 , 4 0 , 2, 4 0,2,4 即可 , 5 5 5 以上的数完全不需要 , 可以忽略 ;
- 最终结果 :
x
0
0
!
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
\cfrac{x^0}{0!} + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} = 1+ \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!}
0!x0+2!x2+4!x4=1+2!x2+4!x4
将上述指数生成函数中四个 指数生成函数项相乘 , 计算出 x 5 x^5 x5 前的系数 , 就是多重集的排列数 ;
G e ( x ) = ( x + x 2 2 ! ) ( 1 + x ) ( 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! ) ( 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! ) G_e(x) = (x + \cfrac{x^2}{2!}) (1 + x) (1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!}) (1+ \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!}) Ge(x)=(x+2!x2)(1+x)(1+x+2!x2+3!x3)(1+2!x2+4!x4)
= x + 5 x 2 2 ! + 18 x 3 3 ! + 64 x 4 4 ! + 215 x 5 5 ! ⋯ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,= x + 5\cfrac{x^2}{2!} + 18\cfrac{x^3}{3!} + 64\cfrac{x^4}{4!} + 215\cfrac{x^5}{5!} \cdots =x+52!x2+183!x3+644!x4+2155!x5⋯
后面的就不算了 , 其中 x 5 x^5 x5 的项是 215 x 5 5 ! 215\cfrac{x^5}{5!} 2155!x5 , 因此题目中要求的 5 5 5 位数的个数是 215 215 215 个 ;
