洛谷：5091 欧拉函数+欧拉降幂+大数取模

​​传送门：欧拉定理​​

假如要我们快速求​​[1--n]​​​和​​n​​互质的个数有多少个，我们可以利用埃氏筛法的思想，把它筛出来，然后统计，但是如果数据过大，无法用数组标记时，我们需要利用欧拉函数求：

欧拉函数：

p代表质因数，所以我们可以通过枚举因数，来确定φ(x)，证明我不会，但我迟早会的。

代码实现：

ll phi(ll x)//欧拉函数
{
    ll res=x;
    for(ll i=2; i*i<=x; i++)//枚举因子
    {
        if(x%i==0)
        {
            res=res*(i-1)/i;
            while(x%i==0)//将相同的质因子，去除
            {
                x/=i;
            }
        }
    }
    if(x>1)res=res*(x-1)/x;
    return res;
}

欧拉降幂：

公式：

根据这个公式写就没问题了。证明我不会，但我迟早会的。

大数取模：

这个就很简单了，大数用字符串表示，取模就能取的时候就取模就🆗了

ll mod(char *s,ll phim)//大数取模
{
    ll n=strlen(s);
    ll sum=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        sum=(sum*10+(s[i]-'0'))%phim;
    }
    return sum;
}

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=2e7+5;
char s[maxn];
ll a[maxn];
ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}
ll mod(char *s,ll phim)//大数取模
{
    ll n=strlen(s);
    ll sum=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        sum=(sum*10+(s[i]-'0'))%phim;
    }
    return sum;
}
ll phi(ll x)//欧拉函数
{
    ll res=x;
    for(ll i=2; i*i<=x; i++)//枚举因子
    {
        if(x%i==0)
        {
            res=res*(i-1)/i;
            while(x%i==0)
            {
                x/=i;
            }
        }
    }
    if(x>1)res=res*(x-1)/x;
    return res;
}
ll ksm(ll a,ll b,ll m)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            res=res*a%m;
        }
        b>>=1;
        a=(a*a)%m;
    }
    return res%m;
}
ll Getv(char *s)
{
    ll sum=0,n=strlen(s);
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        sum=(sum*10+s[i]-'0');
    }
    return sum;

}
int main()
{
    ll a,b,m;
    cin>>a>>m>>s;
    ll n=strlen(s);
    a%=m;
    if(n<=16)
    {
         cout<<ksm(a,Getv(s),m)<<endl;
    }
    else if(gcd(a,m)==1)
    {
     cout<<ksm(a,mod(s,phi(m)),m)<<endl;
    }
    else
    {
         cout<<ksm(a,mod(s,phi(m))+phi(m),m)<<endl;
    }
}