椒盐噪声的去噪处理

对于公式

$\hat f(x,y)=\frac{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q+1}}{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q}}$
给出的逆谐波滤波回答下列问题：

(a)、解释为什么当Q是正值时滤波对去除“胡椒”噪声有效？

(b)、解释为什么当Q是负值时滤波对去除“盐”噪声有效？

其中在八位的灰度图中，0表示黑色，255表示白色，其中“胡椒”噪声灰度值趋于0，“盐”噪声灰度值趋于255。

令$A=\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q}$
$\begin{aligned} \hat f(x,y) &=\frac{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q+1}}{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q}}\\ &=\frac{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q}g(s,t)}{\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q}}\\ &=\frac{1}{A}\sum_{(s,t)\in S_{xy}}g(s,t)^{Q}g(s,t)\\ &=\sum_{(s,t)\in S_{xy}}\frac{g(s,t)^{Q}}{A}g(s,t) \end{aligned}$
所以$\sum_{(s,t)\in S_{xy}}\frac{g(s,t)^{Q}}{A}g(s,t)$可以视为在图像邻域$S_{xy}$内的一个加权平均数，其中$g(s_0,t_0)$的权值为$\frac{g(s_0,t_0)^{Q}}{A}$。

设邻域$S_{xy}$内椒噪声与盐噪声的灰度分别为$g_{pepper}$与$g_{salt}$。

所以存在$g_{pepper}<\sum_{(s,t)\in S_{xy}}\frac{g(s,t)^{Q}}{A}g(s,t)<g_{salt}$

(a)

当$Q>0$时，因为$g_{pepper}\rightarrow0$，所以此时的$\frac{g(s,t)^{Q}}{A}\rightarrow0$，于是可以认为在加权平均过程中可以忽略。从而实现了去除"胡椒"噪声

(b)

当$Q<0$时，因为$g_{salt}\rightarrow255,g_{salt}^{Q}={\frac{1}{g_{salt}}}^{-Q}\rightarrow{\frac{1}{255}}^{-Q}\rightarrow0$，所以此时的$\frac{g(s,t)^{Q}}{A}\rightarrow0$，于是可以认为在加权平均过程中可以忽略。从而实现了去除"盐"噪声