矩阵的模和内积

模和内积

向量

设存在一个向量$X=\{x_1,x_2,x_3\dots x_n\}^T$

P范数
$||X||_P=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}{|x_i|}^p}$
1范数（曼哈顿距离）
$||X||_1=\sum_{i=1}^n|x_i|$
2范数（欧式距离）
$||X||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2}$
同时2范数记为向量的模，即$||X||$

正无穷范数
$||X||_{+\infty}=\max(|x_i|)$
负无穷范数
$||X||_{-\infty}=\min(x_i)$
内积

设存在两个向量$X=\{x_1,x_2,x_3\dots x_n\}^T,Y=\{y_1,y_2,y_3\dots y_n\}^T$，则向量$X,Y$的内积记为$<X,Y>=X^TY$

其中$<X,aY>=a<X,Y>,<X,Y+Z>=<X,Y>+<X,Z>$

矩阵

设存在一个矩阵$A$
$A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots& a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm} \end{bmatrix}$

F范数
$||A||_F=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}{|a_{ij}|}^2}$
1范数（曼哈顿距离）
$||A||_1=\max_j\sum_{i=1}^n|a_{ij}|$
2范数（欧式距离）
$\begin{aligned} ||A||_2&=\sqrt{\lambda_{max}}\\ ||A^{-1}||_2&=\frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}}} \end{aligned}$
其中$\lambda_{max}$为矩阵$A^TA$的最大的特征值

无穷范数
$||A||_{\infty}=\max_i\sum_{j=1}^{m}(|a_{ij}|)$
内积

设存在两个矩阵$A_{nm},B_{nt}$，则矩阵$A，B$的内积记为$<A,B>=A^TB$

满足以下条件的集合称为正交集
$\left.\langle\mathbf{u}_i|\mathbf{u}_j\rangle=\left\{\begin{matrix}1&\text{when }i=j,\\0&\text{when }i\neq j.\end{matrix}\right.\right.$
其中来自n维空间含有n个向量的正交集一定是该n纬空间的基，正交集一定是线性无关的

傅里叶表示

若$\mathcal{B}=\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\ldots,\mathbf{u}_{n}\}$是内积空间$V$ 的一个正交基，对每一个$x$都可以表示为
$\mathbf{x}=\left\langle\mathbf{u}_1|\mathbf{x}\right\rangle\mathbf{u}_1+\left\langle\mathbf{u}_2|\mathbf{x}\right\rangle\mathbf{u}_2+\cdots+\left\langle\mathbf{u}_n|\mathbf{x}\right\rangle\mathbf{u}_n.$
这被称为$X$的傅里叶表示，其$\xi_i=\left\langle\mathbf{u}_i|\mathbf{x}\right\rangle$被称为$X$ 在$\mathfrak B$下的坐标，他们是傅立叶系数