前言
上一节我们说，AB=AC时，B未必就等于C，现在我们就要来讨论，什么时候B=C。
方阵的逆
在矩阵乘法中，我们讲到矩阵的幂，那么有没有矩阵的负数次幂，满足：
如果这样的矩阵存在，我们称为矩阵的逆。
可以看出只有方阵才存在逆。
且当逆存在时，就满足了消去律：
而不可逆的矩阵，也被叫做奇异矩阵，同理可逆矩阵也叫非奇异矩阵。
那么下一个问题，就是一个方阵什么时候有逆，我们又怎么来求逆呢？
矩阵的初等变换
首先让我们回顾一下之前说过的初等变换。
由于矩阵和方程组是等价的，所以方程组能够进行的变形，矩阵也能进行。
第一，交换两个方程的位置，不会改变方程组，所以矩阵可以交换某两行。
其次，对于其中的某一个方程，由于等式的基本性质，我们可以在两边同乘一个数，所以矩阵可以在某一行上乘一个不为0的数。
最后，对于a=b，c=d，等式两边表示的是一样的数，因此等式可以做加法，即a+b=c+d，所以矩阵可以把某一行加到另一行上。
这三种初等变换，我们可以利用矩阵乘法来进行：
这三种矩阵被称为初等矩阵。
可以证明，初等矩阵都是可逆矩阵。
练习：求三种初等矩阵的逆矩阵。
高斯消元法，本质上就是进行一系列初等矩阵的左乘。
而我们知道，高斯消元法最后的结果是方程的解，即单位矩阵：
所以如果对于方阵A，我们能用一系列的初等矩阵P，将其变换为单位矩阵：
那么这些初等矩阵的乘积，就是A的逆矩阵。
一般为了方便求解，我们可以利用高斯消元法，同时对A和E做初等变换：
当左边的方阵A被变换成单位阵时，右边同步变换的单位阵E就会变成A的逆矩阵。
例如：
验证：
从这里我们也可以看出，矩阵可逆时，方程组就有唯一解：
如果矩阵不可逆，那么方程组无解或者有无数个解。
逆矩阵和行列式
数学家们发现，对于二阶方阵，我们可以用公式法求出逆矩阵：
练习：证明这个结论。
其中ad-bc被称为行列式，记为det(A)，或者写作：
显然对于二阶方阵来说，当行列式等于0时，矩阵不可逆，行列式不等于0时，矩阵可逆。
而和行列式倒数相乘的这个矩阵，则被称为伴随矩阵，用A*表示。
所以二阶矩阵求逆公式也可以写作：
我们可以证明，对于二阶矩阵A：
练习：证明这个结论。
探索：对于更高阶的矩阵，我们怎么定义行列式？这种求逆方法还有效吗？
探索：我们还有哪些求逆矩阵的方法？
