第四章 频率域滤波
一. 基本概念
时域：描述数学函数或物理信号与时间的关系，例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。
频域：自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度。也就是通常说的频谱图。频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号的关系。
空域：以空间坐标作为变量进行的研究，如从二维空间角度看待图片上点与点之间关系并进行处理就是空域图像处理。
图像域变换：将图像从空间域变换到其他域如频率域的数学变换。使图像处理问题简化，有利于图像特征提取。
二. 傅里叶变换
若对一个一维输入信号作一维傅里叶变换，则该信号就被变换到频域上表示，即得到构成该输入信号的频谱。频谱反映了该输入信号由哪些频率构成，是一种分析与处理一维信号的重要手段。
一维傅里叶变换对的定义为：
离散傅里叶变换对：
图像信号的傅里叶变换包含幅度与相位两部分，幅度谱具有较明显的信号结构特征，且易于解释。但幅度本身只包含有图像本身含有的周期结构，不表示其位置。相位谱类似随机图案，难以进行直观解释，但是相位信息中携带者图像的位置信息，没有它将无法从频谱还原出原图像，仅依靠相位谱重构出来的图像也是能够看到一些轮廓信息的。利用相位谱记录的位置信息和幅度谱记录的亮度信息，就可以用双谱重构的方法恢复出原图像。
二维傅里叶变换的一些性质：
- 线性：
- 平移和旋转： ;
- 周期性： ;
三. 频域滤波基础
1.原理（图像变化平缓的部分靠近频率平面的中心；图像中的边缘噪音变化陡峭的部分，以放射方向离开频率平面的圆心）
- 频谱的直流低频分量对应于图像的平滑区域
- 频谱的高频分量对应于图像的边缘或变化剧烈区域
- 外界叠加噪声对应于频谱中频率较高的部分
- 恒定的干扰条纹对应于频谱中的某些特征点
2.基本滤波公式
注意：使用关于中心对称的函数可显著简化计算，因此，滤波前，先通过在变换前用
乘以输入图像把F(u,v)中心化。
3.数据缠绕问题
由于做DFT时默认图象是周期序列，故在进行卷积运算时，会出现临近周期的数据缠绕现象。
解决办法：用0拓展原始图像和卷积核。
4.频率域滤波步骤
- 对一幅大小为M×N的输入图像f(x, y)，选择填充参数P=2M，Q=2N
- 对扩充部分用0填充，形成大小为P×Q的填充图像
- 用乘以，移到其 变换中心
- 计算上图的DFT得到F(u, v)
- 生成一个实的、对称的滤波函数H(u, v)，其大小为P×Q，中心在（P/2, Q/2）处
- 用阵列相乘得到乘积：G(u, v)=H(u, v)F(u, v)
- 通过IDFT变换得到图像：，为忽略由于计算不准确导致的寄生复成分，选择实部，下标p指出处理的是填充后的图像
- 从的左上象限提取M×N区域，得到最终处理结果g(x,y)。
可见，滤波的关键取决于滤波函数H(u, v)，因为它在滤波中抑制或除去了频谱中的某些分量，而保留其他的一些频率不受影响，从而达到滤波的目的。
5.频域滤波分类：高通滤波，低通滤波，除此以外还有带通带阻滤波，同态滤波等
四.频域图像平滑（低通滤波-消除图像中的随机噪声，减弱边缘效应，起到平滑图像的作用）
1.理想低通滤波器
小于D的频率分量可以完全通过；大于D的频率则被完全衰减
- 数学定义非常清晰
- 平滑作用非常明显，但是会使图像变得比较模糊（原点处的中心成分决定模糊程度）
- 有振铃现象-对一幅图像进行滤波处理，若选用的频域滤波器具有陡峭的变化，则会使滤波图像产生振铃（图像的灰度剧烈变化处产生的震荡，主要由旁瓣引起）
- 在物理上不可实现
2.巴特沃斯低通滤波器
特点：带通与带阻之间无明显的不连续性，因此无振铃现象（三阶以上的巴特沃斯滤波器振铃现象开始较为明显）；图像模糊程度随着截止频率的增大平缓降低
与理想低通滤波器ILPF相比：没有明显的跳跃；模糊程度减少；尾部含有较多高频，对噪声的平滑效果不如ILPF
3.高斯低通滤波器
特点：高斯低通滤波器的傅里叶反变换也是高斯的，所以无振铃现象
五. 频域图像锐化（高通滤波-保留高频分量，减弱或抑制低频分量，增强图像边缘，锐化图像）
1.理想高通滤波器
大于D的频率可以无损的通过
特点：与理想低通滤波器类似，不能用实际电子器件实现
2.巴特沃斯高通滤波器（BHPF）
特点：在通过频率与截止频率之间无明显的不连续性
问题：低频成分被严重消弱，使图像失去层次
改进措施：加一个常数到变换函数H(u,v)+c，这种方法称之为高频加强滤波；在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化，以解决变暗的趋势，后滤波处理
3.高斯高通滤波器
特点：较平滑，即使对微小物体和细节也较清晰
4.同态滤波器（一些图像的动态范围很大，而我们感兴趣的部分的灰度又很暗，图像细节无法辨认）
同态滤波器是一种把频率过滤和灰度变换结合起来的图像处理方法
基本原理：将像素灰度值看作是照度和反射率两个组份的产物。由于照度相对变化很小，可以看作是图像的低频成分，二反射率则是高频成分。通过分别处理照度和反射率对像素灰度值的影响，达到揭示阴影区域细节特征的目的。
依据：人眼对图像亮度响应具有类似于对数运算的非线性形式
其中i(x,y)是照明分量，r(x,y)是反射分量；
入射光较均匀，随空间位置变化较小，占据低频带，代表光照条件，因其所含的图像信息比较少，故消弱该部分；反射光由于物体性质和结构特点不同而反射强弱很不相同的光，随空间位置变化较剧烈，占据高频段比较宽的范围，代表图像的细节特征，故增强该部分。同态滤波的总原则就是：消弱低频增强高频，使层次清晰，突出细节。
六. 空间域滤波与频率域滤波比较
- 频域滤波较空域而言更加直观
- 直接在空域中设计出一个能够完成滤波任务的滤波器是相当困难的
- 频域滤波计算量比较大，0填充后的图像边缘也容易引入高频干扰
- 为了得到合适的空域滤波器，可以首先设计频域滤波器H(u,v)，然后根据卷积定理，反变换至空域，得到空域中的卷积模板h(x,y)
- 直接反变换得到的空域卷积模板h(x,y)和H(u,v)等大，要计算这样大的模板与图像的卷积是非常低效的。
- 以全尺寸的空域滤波器h(x,y)为指导，可以设计出形状与之类似的小空域卷积模板
- 目前，空域滤波是主流
