中国剩余定理

中国剩余定理（限制条件：模为两两互质）

中国剩余定理其实很早我们都接触过，在初中甚至小学的时候我们都有可能看到过这样的问题：有n个东西，三个人分剩两个，五个人分剩三个，七个人分剩两个，求n最少是多少。

求解这个问题古人就已经想到了很好的解决办法。
我们由题意易知：
x=2（mod）3；
x=3（mod）5；
x=2（mod）7；

如果x=n1+n2+n3。
n1是5,7的倍数，且n1%3=2。
n2是3,7的倍数，且n2%5=3。
n3是3,5的倍数，且n3%7=2。
故我们可以知道n1+n2+n3定是x的一个解。

那么怎么求n1，n2，n3呢？
我们由逆元知道。

（57） inv(57,3） = 1（mod）3；
（37）* inv(37, 5) = 1（mod）5；
（35）* inv(3*5, 7) = 1（mod）7；

故n1 = 2 * 5*7*inv（5*7,3），n2 = 3 * 3*7*inv(3*7, 5)，n3 = 2 * 3*5*inv(3*5, 7)  。

因为，中国剩余定理的模都是两两互质，必有逆元。用扩展欧几里得算法就可以求解，于是我们最后将求得的n1，n2，n3相加，最后的答案就是n=（n1+n2+n3）mod（lcm（3,5,7））。

扩展下，一共有n对方程，

x = p[i] mod m[i]

设M = m[i]数组的积，设Mi = M / mi，即为除了mi其他数的积，设ti = Mi 在mod mi的逆元，即Mi * ti =1mod mi。

则

$x = \sum_{n=1}^Np_iM_it_i$

$mod M$

模板 51nod1079

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define d(x) cout << (x) << endl
#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1000000009;
const int N = 20;

ll p[N], m[N];
int n;

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{ //exgcd求乘法取模运算的逆元
    if (!b)
    {
        y = 0, x = 1;
        return;
    }
    else
    {
        exgcd(b, a % b, x, y);
        ll temp = x;
        x = y;
        y = temp - a / b * y;
    }
}

ll crt(void)
{
    ll M = 1, ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        M *= m[i];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        ll mi = M / m[i], x, y;
        exgcd(mi, m[i], x, y);
        ans = (ans + p[i] * x * mi) % M;
    }
    if (ans < 0)
    {
        ans += M;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%lld%lld", &m[i], &p[i]);
    }
    printf("%lld\n", crt());
    return 0;
}