ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 L. Magical Girl Haze（分层最短路）

​​ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 L. Magical Girl Haze（分层最短路）​​

题目

给一个 n 点，m 条边的有向图，求 1 到 n 最短路，不过中间你可以选择任意的 k 边权值变为 0。

分析

题目关键在可以将 k 条边的权值变为 0。

用 $DP$ 的思想，$dis$

$dis[i][j]$表示 1 号点到 i 点，走过 j 条免费的路的最短路值。

之前松弛操作为 $dis[v] = min(dis[v], dis[u] + a[u][v])$。

现在变成： $dis[v][j] = min(dis[v][j], dis[u][j] + a[u][v], dis[x][j - 1])$

每次可以跟新状态可以选择使用或者不使用免费边。

最后结果就是在所有 k 情况下 $dis[n]$

注意范围 2e5。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e5 + 10;

int _, n, m, k, x, y;
int to[N], ne[N], h[N], idx;
ll dis[N][15], w[N], val;      // dis[i][k] 走到 i ，经过了 k 条免费的路
int vis[N][15];

void add(int a, int b, ll val){
    to[idx] = b, w[idx] = val, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

struct node{
    int u, kk;
    ll di;
    friend bool operator < (const node& a, const node& b) {
        return a.di > b.di;
    }
};

void dijk(){
    memset(dis, INF, sizeof(dis));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    priority_queue<node> q;         // 距离小的优先
    dis[1][0] = 0;                  // 初始化
    q.push(node{1, 0, 0});
    while(!q.empty()){
        node cnt = q.top();
        q.pop();
        if(vis[cnt.u][cnt.kk])
            continue;
        vis[cnt.u][cnt.kk] = 1;
        for(int i = h[cnt.u]; ~i; i = ne[i]){       // 枚举当前节点所相连的边
            int x = to[i];                          // 不消耗乘车权
            if(dis[x][cnt.kk] > cnt.di + w[i]){     // 松弛操作
                dis[x][cnt.kk] = cnt.di + w[i];
                q.push(node{x, cnt.kk, dis[x][cnt.kk]});
            }
            if(cnt.kk + 1 <= k){                    // 消耗乘车权
                if(dis[x][cnt.kk+1] > cnt.di){
                    dis[x][cnt.kk + 1] = cnt.di;
                    q.push(node{x, cnt.kk + 1, dis[x][cnt.kk + 1]});
                }
            }
        }
    }
    ll ans = INF;
    for(int i = 0; i <= k; i++){
        ans = min(dis[n][i], ans);
    }
    printf("%lld\n", ans);
}

int main(){
    for (scanf("%d", &_); _; _--)
    {
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
        memset(h, -1, sizeof(h)), idx = 0;
        while(m--){
            scanf("%d%d%lld", &x, &y, &val);
            add(x, y, val);
        }
        dijk();
    }
    return 0;
}