组合数学 [计算机机数学专题(6)]

原创

qq5b7f4f8742fb5 2023-06-05 16:22:49 博主文章分类：计算数学 ©著作权

文章标签 组合数加法原理递推 文章分类 代码人生

©著作权归作者所有：来自51CTO博客作者qq5b7f4f8742fb5的原创作品，请联系作者获取转载授权，否则将追究法律责任

计数原理
组合问题的分类
排列
组合
解排列组合问题的 28 个方法
母函数
莫比乌丝反演
Lucas 定理

组合数学起源于人类早期的数学游戏。

很久以前，中国的古书中便有相关的记载如《易经》的八卦，八卦还是天然的二维矩阵。

现代的组合学源于 1666 年《组合的艺术》一书的出版。

计数原理

计数原理包含：加法原理、乘法原理、鸽巢原理、容斥原理，这些原理为解决问题提高了许多思路。

加法原理：如果事件 A 和事件 B 相互排斥，而事件 A 有 p 种产生方式，事件 B 有 q 种产生方式，则事件 " A 或 B " 有 p + q 种产生方式。

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_组合数

加法原理

乘法原理：如果事件 A 和事件 B 相互独立，且事件 A 有 p 种产生方式，事件 B 有 q 种产生方式，则事件 " A 与

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_加法原理_02

乘法原理

加法原理和乘法原理最重要的区别是事件 A 和事件 B 的关系，是 "或" 还是 "与"。

或：要么 A 发生，要么 B 发生，
举例：假设从家到学校有 2 趟公交、3 打游轮、4趟列车、5班飞机，那么从家到学校共有多少种选择方式？
因为公交、游轮、列车、飞机都是相互排斥的(或)，所以只能选一种交通工具。
要么坐公交、要么上游轮、要么乘列车、要么搭飞机，2 + 3 + 4 + 5 = 14 种。
与：A 和 B 可以一起产生、有先后关系，
举例：再假设从家到学校后，还要去市中心办一个交通优惠卡。
从学校到市中心也有  2 趟公交、3 打游轮、4趟列车、5班飞机。那么从学校到市中心也是 14 种，从家到市中心是 14 * 14 种，从家到市中心有先后关系会采用乘法原理。
鸽巢原理：若把 n+1 部手机放进 n 个袋子中，则至少有一个袋子放了俩个或俩个以上部手机。
若把 n-1 部手机放进 n 个袋子中，则至少有一个袋子是空的。
应用鸽巢原理最主要考虑：
鸽子是什么，上面是手机；
  巢是什么，上面是袋子；
  鸽子和巢各有多少，上面是 n + 1 / n - 1 和 n。

容斥原理：

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_组合数_03

组合问题的分类

组合学主要研究的问题是如何按照一定规则来安排一些物体，具体的 4 种问题：

存在性问题：判断满足某种条件的情况或状态是否存在；
计数性问题：存在多少种满足某种条件的情况或状态；
构造性问题：如果已判断出满足某种条件的状态是存在的，那么如何构造出；
最优化问题：找出某种评论标准下的最佳(或较佳)构造方案。

排列数
$P^{r}_{n}$
或
$A^{r}_{n}$
或
，从 n 个元素中有序的取 r 个元素的情况数
组合数
$C^{r}_{n}$
或
$\binom{n}{r}$
或
，从 n 个元素中无序的取 r 个元素的情况数

排列

选排列：n 个不同元素有序的取 r 个排在一起，则有

$P^{r}_{n}$

种，读作 n 的降 r 阶乘。应用乘法原理推出

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_递推_11

。

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_递推_12

$P^{k}_{n} = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)$

$= \frac{n!}{(n-k)!}$

e.g. k = 2 ，n = 5，

$P^{2}_{5} = 5 * 4$

排列数 = 从 n 个元素中有序的取 r 个元素的情况数

圆排列：n 个不同元素有序的取 r 个不分首尾的围成一个圆圈，则有

$\frac{P^{r}_{n} }{r}$

种，记为

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_加法原理_17

。

圆排列数 = 从 n 个元素中有序的取 r 个元素的情况数 ➗ r 个元素

组合

n 个不同元素不考虑次序取 r 个排在一起，则有

$C^{r}_{n}$

种，

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_加法原理_19

。在排列的基础上不考虑 r 个元素的次序即

$C^{r}_{n}$

$\frac{P^{r}_{n}}{r!}$

。

组合数 = 从 n 个元素中有序取 r 个元素的情况数 ➗ 有序的摆放 r 个元素的情况数

组合数的递推：求一个组合数可以从ta的前面推出。
假设求
$C^{r}_{n}$
？
~~从 n 个元素中取出 r 个~~
$C^{r}_{n}$
可以从
$C^{r-1}_{n-1} + C^{r}_{n-1}$
递推过来 (根据加法原理)。
从 n 个元素中取 r 个元素的组合数 = 从 n-1 个元素中取 r-1 个元素的组合数 + 从 n-1 个元素中取 r 个元素的组合数
分情况讨论，有俩种情况第 r 个元素或被取，或不被取。
以 n = 4，r = 2 举例，桌上有 4 张卡片 ( [A] [B] [C] [D] ) ，抓 2 张卡片放手上(不考虑顺序)，将 TA 分成选择 [D] 的情况与不选择 [D] 的情况(也可以为其ta卡片)。
如果选择[D]，就只能从 [D] 以外的 3 张卡片中选取 1 张放手上。
如果不选择[D], 就只能从 [D] 以外的 3 张卡片中选取 2 张放手上。
从 3(即 n-1) 个元素中取 1(即 r-1) 个元素的组合数，
不选择[D]，就是  从 3(即 n-1) 个元素中取 2(即 r) 个元素的组合数。
组合数的递推：求一个组合数可以从ta的前面推出。

代码实现，类似于 "动态规划" 的思想......

代码实现需要考虑，第 r 个元素从哪里来？

由前面的

$C^{r-1}_{n-1} + C^{r}_{n-1}$

相加得到，C[n][r] = C[n-1][r] (取 r) + C[n-1][r-1] (不取 r)。

#include <stdio.h>

int main( void )
{
	int C[256][256] = {0}, N;
	scanf("%d", &N);
	
	for( int n = 0; n<= N; n ++ )
	{
		C[n][0] = 1;     // 规定 C(n, 0) = 1
		for( int r = 1; r <= n; r ++ )
		    C[n][r] = C[n-1][r-1] + C[n-1][r];
	}
	
	for( int i = 0; i <= N; i ++, putchar(10) )
	    for( int j = 0; j <= i; j ++ )
	        printf(" %d ", C[i][j]);  // C(n, r)
	
	return 0;
}

发现组合书数递推输出的结果组成一个杨辉三角。

在《算法导论》等专业性强的书，经常会以下降阶乘幂表示组合。

组合公式：

$C(n, r) = \frac{P(n,r)}{r!} = \frac{n!}{r!*(n-r)!}$

下降阶乘幂：

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_加法原理_27

e.g.

$C^{3}_{5} = \frac{5!}{3!*(5-3)!}$

$\binom{5}{3} = \frac{(5-0)*(5-1)*...*(5-3+1)}{(3-0)*(3-1)*...*(3-3+1)}$

$= \frac{5!}{3!*2!}$

$= \frac{5*4*3}{3*2*1}$

$= \frac{5*4*3*2*1}{3*2*1*2*1}$

$= \frac{5*4*3}{3*2*1}$

$C^{3}_{5} = \binom{5}{3}$

，使用下降阶乘幂的表达形式要比组合形式计算容易的多。下降阶乘幂指将含有

$x^{n}$

的式子改成沿 n 阶阶梯逐步下降的乘积形式，即

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_组合数_36

。

组合数学 [计算机机数学专题(6)]_递推_37

。

使用回溯法实现排列、组合。

#include <stdio.h>
int main( void )
{
    int flag;
    while
    (
        printf("先生，扣 0 为排列，扣 1 为组合:>  "),
        scanf("%d",&flag),
        flag != 0 && flag != 1  // while 的结束条件
    );
    
    int n, r;
    printf("这位先生，实现 %s 前要输入 n, r:>  ", flag ? "组合:P(n, r) ":"排列:C(n, r)");
    scanf("%d%*c%d", &n, &r);
    
    int s1, s2, s;   s1 = s2 = 1;    s = 0;
    int i, j, a[ 32 ];
    for( j = 1; j <= r; j ++ )
    {
    	s1 = s1 * (n - j + 1);        // 猜猜看～
    	s2 = s2 * (n - j + 1) / j;    // 这俩个公式是啥 ？？
    }
    i = 1; a[ i ] = 1;
    
    while( 1 )
    {
    	int t = 1;
    	for( j = 1; j < i; j ++ )
    	    if( flag == 0 && a[ j ] == a[ i ] || flag == 1 && a[ j ] >= a[ i ] )
    	  {   t = 0; break;  }
    	if( t && i == r )
    	{
    		for( j = 1; j <= r; j ++ )
    		    printf("%c", a[ j ] + 64 );     // 以大写字母输出
    		printf("%-4c", ' ');
    		if( ++s % 5 == 0 )                  // 每行 5 个
    		     putchar( 10 );
    	}
    	if( t && i < r )
    	 {   i ++, a[ i ] = 1; continue; }    
    	while( a[ i ] == n )                        // 回溯
    	    i --;
    	if( i > 0 )
    	    a[ i ] ++;
    	else
    	    break;
    }
    printf("%d\n", s);
    return 0;
}