目录

  • 一、二叉树的定义
  • 二、特殊二叉树
    • 2.1 斜二叉树(Skewed Binary Tree)
    • 2.2 完美二叉树(Perfect Binary Tree)
    • 2.3 完全二叉树(Complete Binary Tree)
  • 三、二叉树的几个重要性质
  • 四、二叉树的抽象数据类型定义
    • 4.1 常用的遍历方法
  • 五、二叉树的存储结构
    • 5.1 顺序存储结构
    • 5.2 链表存储


一、二叉树的定义

二叉树T:一个有穷的结点集合。

  • 这个集合可以为空
  • 若不为空,则它是由根节点和称为其左子树\(T_L\)和右子树\(T_R\)的两个不相交的二叉树组成。

二叉树具体五种基本形态

二叉树及存储结构_二叉树

二叉树的子树有左右顺序之分

二叉树及存储结构_二叉树_02

二、特殊二叉树

2.1 斜二叉树(Skewed Binary Tree)

斜二叉树如下图所示:

二叉树及存储结构_二叉树_03

2.2 完美二叉树(Perfect Binary Tree)

完美二叉树也称作满二叉树(Full Binary Tree)

完美二叉树如下图所示:

二叉树及存储结构_存储结构_04

2.3 完全二叉树(Complete Binary Tree)

有n个结点的二叉树,对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号,编号为\(i(1\leq{i}\leq{n})\)结点与满二叉树中编号为i结点在二叉树位置相同。

完全二叉树如下图所示:

二叉树及存储结构_二叉树_05

如下图所示的二叉树即不为完全二叉树:

二叉树及存储结构_二叉树_06

三、二叉树的几个重要性质
  • 一个二叉树第i层的最大结点树为:\(2^{i-1}, \quad{i}\geq1\)

  • 深度为k的二叉树有最大结点总数为:\(2^k -1, \quad k\geq{1}\)

  • 对任何非空二叉树T,若\(n_0\)表示叶节点的个数、\(n_2\)是度为2的非叶结点个数,那么两者满足关系\(n_0=n_2+1\)

二叉树及存储结构_二叉树_07

四、二叉树的抽象数据类型定义

类型名称:二叉树

数据对象集:一个有穷的结点集合。若不为空,则由根节点和其左、右二叉子树组成。

操作集:\(BT\in{BinTree},\quad Item \in ElementType\),其重要操作有:

  1. BooleanIsEmpty(BinTree BT):判断BT是否为空;
  2. void Traversal(BinTree BT):遍历,按某顺序访问每个结点;
  3. BinTree CreateBinTree():创建一个二叉树。

4.1 常用的遍历方法

接下来介绍几个常用的遍历方法,未来会详细讲解。

void PreOrderTraversal(BinTree BT):先序 --》根、左子树、右子树;

void InOrderTraversal(BinTree BT):中序 --》左子树、根、右子树;

void PostOrderTraversal(BinTree BT):后序 --》左子树、右子树、根;

void LevelOrderTraversal(BinTree BT):层次遍历,从上到下、从左到右

五、二叉树的存储结构

5.1 顺序存储结构

完全二叉树:按从上至下、从左到右顺序存储,n个结点的完全二叉树的结点父子关系

  • 非根节点(序号i>1)的父结点的序号是\([i/2]\);
  • 结点(序号为i)的左孩子结点的序号是2i(若\(2i\leq{n}\),否则没有左孩子);
  • 结点(序号为i)的右孩子结点的序号是2i+1(若\(2i+1\leq{n}\),否则没有右孩子)

二叉树及存储结构_存储结构_08

一般二叉树也可以采用这种结构,但会造成空间浪费……

二叉树及存储结构_二叉树_09

5.2 链表存储

/* c语言实现 */

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode{
  ElementType Data;
  BinTree Left;
  BinTree Right;
}
# python语言实现

class TreeNode:
     def __init__(self, x):
         self.val = x
         self.left = None
         self.right = None

单个子节点用下图所示链表表示:

二叉树及存储结构_存储结构_10

使用链表对整棵树的表示如下:

二叉树及存储结构_存储结构_11