傅里叶变换后面的到底有什么小秘密?

大家有没有想过一个问题，为什么全世界都把自己的纸币面额设成1、2和5这三个数字？

这么选择是一种偶然还是必然？背后有什么秘密吗？其实答案没有什么太高深的，就是“简便”而已。因为人类经过多年的进化，形成了一种不可或缺的生存能力，那就是尽量将复杂的分解为简单的问题，比如：人们就发现虽然事物的价格千千万，我们总是可以用几种简单的数字叠加起来。而1、2和5这三个数字恰恰是10进位制里面最简便的组合。

为了“简单”而进行“分解”，为了更好的“分解”，人类又发明了“正交”的概念。何谓正交呢，它其实脱胎于“垂直”而又有更丰富的内涵。我们知道在垂直坐标系中，三个坐标轴的相互垂直的，这样的好处是各个轴向之间是独立的，互不干扰的。当然，这些描述都是定性的，对于严谨的数学家和工程师而言，这是不可接受的。于是，又有一个新的概念引入了：“内积”，当内积为零的时候，两个量就是正交的。

整理一下我们的思路：我们想要“简单”，要进行“分解”，想要更好的“分解”，要进行“正交化”，想要定量描述“正交化”，规定“内积”为零为“正交”。总的逻辑是这样的：简单→分解→正交→内积。

说了这么多，这和傅里叶分析有什么关系？现在我要告诉大家：傅里叶分析就是进行“正交分解”，不理解细节没关系，领会到了这个概念，就理解一半了。为了严谨（实际上很不严谨^_^），我们需要将逻辑关系反过来，先从内积说起。

前面我们说的“基”都是常数，这是很容易理解的，我们生活在三维的世界里，我们教材里面从初中就开始介绍这些东西，再熟悉不过了。下面我们要对上面的讨论稍微进行扩展，大家会看到将会有哪些有意思的事情发生。

中计算方便而引入的）。我之前写的帖子《​​自然常数“e“，工程中的自然数“1“​​》以及《​​被众人膜拜的欧拉恒等式是个什么东东？​​》

《​​被众人膜拜的欧拉恒等式是个什么东东？​​》

x=linspace(0,2*pi,50);%0到2pi之间均匀布置50个点；
n=5000;%此处可将n设成20,50，500或其他
e_ix=(1+x*1i./n).^n;
compass(e_ix);
figure;
polarplot(e_ix);

公式（5）称之为傅里叶变换，公式(4)称之为傅里叶逆变换。