一、离散傅里叶变换回顾与FFT的引出
对于长度为N点的数字信号序列 ，定义其离散傅里叶变换为：
我们知道，利用系数 的性质可以大大减少DFT的计算量，这种算法就是快速离散傅里叶变换FFT。需要说明的是，FFT不是一种新的变换，而是一种求DFT的快速计算机算法。
对序列 按奇偶分成两列，重写DFT表达式：
他们分别是偶相列和奇数项列的DFT：
。
那么，对于一个 的序列进行不断分解，就可以得出如下所谓的蝶形图：
二、FFT运算的规律及实现
- 观察上面的蝶形图，我们发现，一个N点序列（注意N必须是2的幂次，如果原序列不是，可以填上0。如：1000点的x(n)可以在后面天24个0，使之变为1024点），可以进行M=logN次的抽取，对应蝶形图就有M级。如上图中8点序列的蝶形图就有3级；每一级都是N/2个蝶形运算；
- 每一个蝶形的计算如下图：
X(k)=X1+X2*WN=X1_r+j(X1_i)+(X2_r+jX2_i)*(WN_r+jWN_i)
展开得到X(k)的实部和虚步分别为：X_r = X1_r + X2_r * WN_r - X2_i * WN_i,
X_i = X1_i + X2_i * WN_r + X2_r * WN_i.
同理得到X2(K)的实部和虚步分别为：X2_r = X1_r - X2_r * WN_r + X2_i * WN_i,
X2_i = X1_i - X2_i * WN_r - X2_r * WN_i.
（一）用迭代法实现
迭代法利用迭代函数运算实现，每次迭代进行一次抽取，直至抽取出的子序列只剩下一点，函数进行回代，并开始进行蝶形运算。先把我写的源代码贴上供大家参考：
//迭代法求FFT
private void FFT(ref double[] DataIn_r, ref double[] DataIn_i, ref double[] DataOut_r, ref double[] DataOut_i)
{
int len = DataIn_r.Length;
if (len == 1)//抽取到只有一个点时，将数据返回
{
DataOut_r = DataIn_r;
DataOut_i = DataIn_i;
return;
}
len = len / 2;
//申请空间，以存储新抽取的子列
double[] evenData_r = new double[len];
double[] evenData_i = new double[len];
double[] oddData_r = new double[len];
double[] oddData_i = new double[len];
//用以存储下一级函数返回的计算结果
double[] evenResult_r = new double[len];
double[] evenResult_i = new double[len];
double[] oddResult_r = new double[len];
double[] oddResult_i = new double[len];
//按奇偶迭代
for (int i = 0; i < len ; i++)
{
evenData_r[i] = DataIn_r[i * 2];
evenData_i[i] = DataIn_i[i * 2];
oddData_r[i] = DataIn_r[i * 2 + 1];
oddData_i[i] = DataIn_i[i * 2 + 1];
}//迭代
FFT(ref evenData_r, ref evenData_i, ref evenResult_r, ref evenResult_i);
FFT(ref oddData_r, ref oddData_i, ref oddResult_r, ref oddResult_i);
//最下一级函数返回后，进行本级的蝶形计算
double WN_r,WN_i;
for (int i = 0; i < len; i++)
{
WN_r = Math.Cos(2 * Math.PI / (2 * len) * i);
WN_i = -Math.Sin(2 * Math.PI / (2 * len) * i);
DataOut_r[i] = evenResult_r[i] + oddResult_r[i] * WN_r - oddResult_i[i] * WN_i;
DataOut_i[i] = evenResult_i[i] + oddResult_i[i] * WN_r + oddResult_r[i] * WN_i;
DataOut_r[i + len] = evenResult_r[i] - oddResult_r[i] * WN_r + oddResult_i[i] * WN_i;
DataOut_i[i + len] = evenResult_i[i] - oddResult_i[i] * WN_r - oddResult_r[i] * WN_i;
}
evenData_r = evenData_i = evenResult_r = evenResult_i = null;
oddData_i = oddData_r = oddResult_i = oddResult_r = null;
GC.Collect();//释放本级函数占用的资源
}显而易见的，迭代法对内存的消耗是很大的。下面来介绍下利用旋转因子进行的FFT算法。
（二）用旋转因子法实现
这个方法早就出现了，名字是我自己给起的，这种算法运用一个三重循环，围绕所谓的旋转因子WN来计算，也是比较流行的主流算法。
众所周知，在进行FFT运算之前，必须对时域序列重排。以往的重排算法是基于对下标二进制码的比特反转来实现的，但是这种方法用高级语言实现起来很麻烦。我写了一个简单易懂的算法。先来看下下标二进制码的规律：
我们来看表格第三列，即重排后的下标二进制码。我们竖着看，最高位一列的0、1的反转周期为2，次高位一列的反转周期为4，以此类推。因此我们可以写一个M次的循环，每一个循环对一列比特位进行操作，具体来说就是每隔半周期加上add=Math.Pow(2,M-L)。下面是源码：
//对原数据组进行重排
private void DataSort(ref double[] data_r, ref double[] data_i)
{
if (data_r.Length == 0 || data_i.Length == 0 || data_r.Length != data_i.Length)
return;
int len = data_r.Length;
int[] count = new int[len];
int M = (int)(Math.Log(len) / Math.Log(2));
double[] temp_r = new double[len];
double[] temp_i = new double[len];
for (int i = 0; i < len; i++)
{
temp_r[i] = data_r[i];
temp_i[i] = data_i[i];
}
for (int l = 0; l < M; l++)
{
int space = (int)Math.Pow(2, l);
int add = (int)Math.Pow(2, M - l - 1);
for (int i = 0; i < len; i++)
{
if ((i / space) % 2 != 0)
count[i] += add;
}
}
for (int i = 0; i < len; i++)
{
data_r[i] = temp_r[count[i]];
data_i[i] = temp_i[count[i]];
}
}再来研究蝶形运算的规律：
- 我们发现每个蝶形的两个输入点只对本蝶有用，对其他蝶形的计算不产生影响；
- 同一级中所有蝶形的输入点在同一竖直线上，意味着我们可以按级来运算，对于M级的蝶形，编个M次循环就好了；
- 所有数据点在运算后不会窜位，即计算后可以将结果存入原来的地址空间。这就免去了像上面的迭代法那样浪费资源的现象；
- 每级N/2个蝶都需要用到系数WN，这里称它为旋转因子。我们来观察旋转因子WN的规律。以8点的蝶形图为例：
可见，第L级的旋转因子为：
j代表旋转因子的个数，第L级的旋转因数个数为num=Math.Pow(2, L).(2的幂不会打)同时，还可以看到，每个蝶的两个输入点下标跨度是不一样的。比如第一级中是相邻两个数据作蝶运算，第二级中是两个输入点隔开一个点，而第三级隔开三个点。不难找到规律：第L级中，第二个输入点的坐标是第一个点的坐标+space，space=Math.Pow(2, L)=num。
利用以上性质，FFT的算法是写一个三重循环，
第一重循环对每一级运算（每级含num=Math.Pow(2, L)个蝶形）；
第二重对每一个旋转因子对应的蝶运算， 那么有几个蝶呢？很简单，每级都应该有N/2个蝶，而每个因子对应N/2 / num个蝶；
第三重循环对每个蝶进行计算，需要注意的一是循环下标起始点的位置，二是每次计算需要申明临时变量来保存输入数据点。下面奉上C#源码：
//FFT算法
private void Dit2_FFT(ref double[] data_r, ref double[] data_i,ref double[] result_r,ref double[] result_i)
{
if (data_r.Length == 0 || data_i.Length == 0 || data_r.Length != data_i.Length)
return;
int len = data_r.Length;
double[] X_r = new double[len];
double[] X_i = new double[len];
for (int i = 0; i < len; i++)//将源数据复制副本，避免影响源数据的安全性
{
X_r[i] = data_r[i];
X_i[i] = data_i[i];
}
DataSort(ref X_r, ref X_i);//位置重排
double WN_r,WN_i;//旋转因子
int M = (int)(Math.Log(len) / Math.Log(2));//蝶形图级数
for (int l = 0; l < M; l++)
{
int space = (int)Math.Pow(2, l);
int num = space;//旋转因子个数
double temp1_r, temp1_i, temp2_r, temp2_i;
for (int i = 0; i < num; i++)
{
int p = (int)Math.Pow(2, M - 1 - l);//同一旋转因子有p个蝶
WN_r = Math.Cos(2 * Math.PI / len * p * i);
WN_i = -Math.Sin(2 * Math.PI / len * p * i);
for (int j = 0, n = i; j < p; j++, n += (int)Math.Pow(2, l + 1))
{
temp1_r = X_r[n];
temp1_i = X_i[n];
temp2_r = X_r[n + space];
temp2_i = X_i[n + space];//为蝶形的两个输入数据作副本，对副本进行计算，避免数据被修改后参加下一次计算
X_r[n] = temp1_r + temp2_r * WN_r - temp2_i * WN_i;
X_i[n] = temp1_i + temp2_i * WN_r + temp2_r * WN_i;
X_r[n + space] = temp1_r - temp2_r * WN_r + temp2_i * WN_i;
X_i[n + space] = temp1_i - temp2_i * WN_r - temp2_r * WN_i;
}
}
}
result_r = X_r;
result_i = X_i;
}
我写了一个简单的测试界面，包含了上述的所有算法，效果如下：
