随机信号功率谱密度估计
--By xzd1575
一、实验目的
1．深入理解随机信号功率谱密度估计
2．掌握在Matlab平台上进行信号功率谱密度估计的基本方法
二、实验原理
1. 随机信号功率谱密度定义
定义随机信号信号的功率谱
为
其中
为随机信号的自相关函数。功率谱反映了信号的功率在频域随频率
分布，因此
又称为功率谱密度。[1]
2. 经典谱估计（非参数谱估计）方法简介
经典谱估计的方法主要包括两种方法：周期图法和自相关法。
周期图法[1]（直接法）
周期图法又称为直接法，它是把随机信号
的N点观察数据
视为一个能量有限信号，直接取
的傅里叶变换，得
，然后再取其幅值的平方，并除于N，作为对
真实功率谱
的估计。以
表示用周期图法估计的功率谱，则
自相关法[1]（间接法）
此方法的理论基础是维纳-辛钦定理。1958年Blackman和Tukey 给出了这一种方法的具体实现，即由
估计出自相关函数
，然后对
的功率谱，记之为
，并以此作为对
的估计，即
因为这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以称为间接法，又称自相关法或BT法。当M较小时，上式计算量不是很大，因此，该方法是在FFT问世之前（即周期图法被广泛应用之前）常用的谱估计方法。
3. 参数模型谱估计方法简介[1]
参数模型法是现代谱估计的主要内容，参数模型法的思路如下。
三、实验步骤
1. 构造模拟信号
构造模拟信号
2. 使用经典谱估计方法对信号进行谱估计
1) 周期图法
Matlab中Prierdogram()函数就是运用周期图法进行谱估计。调用格式如下：
[psdestx,Fxx] = periodogram(xn,rectwin(length(xn)),length(xn),Fs);
其中输入参数xn为待估计的离散信号，rectwin(length(xn))表示窗长为xn点的矩形窗（rectangle window）,Fs表示采样频率。
输出参数Fxx表示频率，psdestx为对应Fxx频率的功率谱密度。
为了使周期图法得到的功率谱密度更为平滑，提出了许多改进的方法，Welch平均周期图法就是其中一种，在matlab中pwelch()函数就是使用该方法进行功率谱估计，pwelch()函数的调用格式如下：
pwelch(xn,hamming(256),128,1024,Fs)
输入参数xn为输入信号，hamming(256)为窗长为256的汉明窗，Fs为信号采样频率。调用后可绘制得到信号功率谱密度图，如需要观察得到的功率谱密度数值，可以添加相应的输出参数，相应可以参阅matlab帮助文档。
2) 相关函数法
相关函数法是先求信号是自相关函数，再根据维纳辛欣定理，功率谱密度就是自相关函数的傅里叶变换，对自相关函数求傅里叶变换，得到功率谱密度。
需要用到matlab中xcorr()函数，其调用格式如下：
cx=xcorr(xn,'biased');
其中输入参数xn为待求自相关函数的信号，'biased'表示使用有偏差的自相关函数求法。
输出参数cx即为信号xn的自相关函数。
3. 使用现代谱估计方法对信号进行谱估计
伯格（Brug）谱估计是一种AR谱估计方法，可调用matalb中pburg函数，其调用格式如下：
pburg(xn,5,1024,Fs)
输入参数xn为信号，Fs为采样频率。调用后可绘制得到信号功率谱密度图，如需要观察得到的功率谱密度数值，可以添加相应的输出参数，相应可以参阅matlab帮助文档。
四、实验结果与分析
1. 经典谱估计方法和现代谱估计方法比较
图4.1 不同功率谱估计方法比较
如图4.1所示，对比周期图法（periodogram）和平均周期图法（Welch），验证了Welch法得到的图要比周期图法得到的功率谱密度图光滑。自相关法和周期图法得到的功率谱估计在140Hz和150Hz处锋比较尖锐，频率分辨率要比Welch平均周期图法高。现代AR谱估计Brug方法同样可以在140Hz和150Hz处得到尖锐的谱峰，同时其估计的功率谱密度图也很平滑。
2. AR谱估计中模型阶数对谱估计结果的影响
(a) (b) (c)
图4.2 AR模型阶数对谱估计的影响
(a)5阶 (b)14阶 (c)20阶
如图4.2，对比不同AR模型阶数对功率谱估计的影响，发现阶数较低时，在140Hz-150Hz频率范围左右，只出现一个谱峰，没有得到实际的两个谱峰，频率分辨率不够，随着模型阶数的增加，到阶数达到14时，可以有效地区分140Hz和150Hz处的两个谱峰，有较好的频率分辨率，随着模型阶数的继续增加，在真峰（140Hz和150Hz）附近的假峰会随着增多。
五、实验结论
通过对比经典和现代不同谱估计方法，可以发现，现代谱估计方法既有较好的频率分辨率，又是能使功率谱密度较为平滑，可以很到的得到信号谱峰。
现代AR谱估计中，模型的阶数选择是一个很重要的问题，选择合适的阶数，可以有效的检查出有效信号的谱峰，如果模型阶数过低，则频率分辨率不够，可能会丢失有效信号谱峰，如果模型阶数过高，则可能出现假峰。
六、参考文献
[1] 胡广书． 数字信号处理：理论、算法与实现（第三 版）[M]. 北京：清华大学出版社，2012．
七、附录
Matlab 实验程序
%% 构造模拟信号
close all
Fs = 1000; % Sampling frequency
t = (0:Fs)/Fs; % One second worth of samples
A = [1 2 3]; % Sinusoid amplitudes
f = [150;140]; % Sinusoid frequencies
x = A*sin(2*pi*f*t);%1*sin(2*pi*150*t)+2*sin(2*pi*140*t)
xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t));
figure(1)
plot(t(1:200),xn(1:200));
xlabel('Time(s)')
ylabel('x(t)')
title('Signal x(t) with Additional Gussian White Noise')
set(gcf,'color',[1 1 1]);
%% 周期图法
figure(2);
subplot(2,2,1)
[psdestx,Fxx] = periodogram(xn,rectwin(length(xn)),length(xn),Fs);
plot(Fxx,10*log10(psdestx)); grid on;
xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Power/frequency (dB/Hz)');
title('Periodogram Power Spectral Density Estimate');
axis([0 500 -60 10])
%% 自相关函数法（BT法）
subplot(2,2,2)
cx=xcorr(xn,'biased'); %计算自相关函数
cxdft = fft(cx);
psdx = abs(cxdft)/Fs;
freq = 0:Fs/length(psdx):Fs/2;
plot(freq,10*log10(psdx(1:length(freq)))); grid on;
title('AutoCorrelation Power Spectral Density Estimate');
xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Power/frequency (dB/Hz)');
axis([0 500 -60 10])
%% Welch 平均周期法
subplot(2,2,3)
pwelch(xn,hamming(256),128,1024,Fs);
axis([0 500 -60 10])
%% Burg法 AR参数谱估计
figure(2)
subplot(2,2,4)
pburg(xn,14,1024,Fs)
axis([0 500 -60 10])
set(gcf,'color',[1 1 1]);
%% 讨论不同的AR阶数对Brug法的影响
figure(3)
subplot(1,3,1)
pburg(xn,5,1024,Fs)
axis([0 500 -60 10])
title('Order 5')
subplot(1,3,2)
pburg(xn,14,1024,Fs)
axis([0 500 -60 10])
title('Order 14')
subplot(1,3,3)
pburg(xn,20,1024,Fs)
axis([0 500 -60 10])
title('Order 20')
set(gcf,'color',[1 1 1]);
