Python高斯消元法的代码实例 高斯消元法算法

高斯消元（南昌理工ACM）

简介

高斯消元法，是线性代数规划中的一种算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。

如图对于方程，除去各未知数，将各数排在一起，成为矩阵，可将他的增广矩阵列出；

之后从上往下经过初等行列变换进一步将该矩阵化为上三角矩阵（最简阶梯型矩阵）：

初等行列变换：
1、把某一行乘上一个非零的数；
2、交换某两行；
3、把某行的若干倍加到另一行上去；

注：初等行列变换不影响方程组解的情况

由此可列出方程组：

之后从下往上将矩阵竖线左边化为单位矩阵，竖线右边就是对应未知数的解；

X1=4 ，X2=3 ，X3=2 ，X2=1;

方程式的解共有三种情况：
1、无解（出现了竖线左边没有未知数，右边是非零的情况）；
2、无穷组解（消元后不是完美的阶梯型，出现了很多全0行）；
3、唯一解（经过消元后成一个完美阶梯型，如上例）；

分析

高斯消元算法步骤：
枚举每一列
1、找到当前这一列系数绝对值最大的一行（控制精度，有除法运算）；
2、将该行与第一行进行交换；
3、将改行第一个非零数变为1，后面的数同时做相应的改变；
4、将下面所有行的这一列全部消为0；

const int N = 110;
const double eps = 1e-6;
int n;
double a[N][N];//存增广矩阵

int gauss()
{
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )//枚举列
    {
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))//找当前这一列系数绝对值最大的一行
                t = i;

        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;//c++存浮点数有误差判断其是否小于一个很小的数，是则认为其为零

        for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);//交换行
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];//这一行所有的数同时除以第一个数，注意要从后往前除；

        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];//消零

        r ++ ;
    }

    if (r < n)//消完之后剩余方程的个数是小于n的（n个方程解n个未知数，说明不是唯一组解）
    {
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][n]) > eps)//0==！0的情况
                return 2;//无解
        return 1;//有无穷组解
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];//从后往前消求解，此时方程的解存在a[i][n]中；
            
    return 0;唯一解
}

高斯消元模板（出自AcWing（yxc））

由上方的高斯消元模板很容易看出，高斯消元的时间复杂度为O（n^3）;