线性卷积、周期卷积和循环卷积
例题：已知序列x1(n)=[0,2,2,1] (n=0,1,2,3); x2(n)=[1,2,-1,1] (n=0,1,2,3).求解
(1)计算线性卷积y1(n)=x1(n)✳x2(n);
(2)计算周期卷积y2(n)=x1(n)⊛x2(n);(N=5)
(3)计算循环卷积y3(n)=x1(n)⊗x2(n);(L=4)
计算：
（1）线性卷积长度为L=M+N-1;所以y1的长度就是4+4-1=7.七次计算即可得出y1
线性卷积计算将x2(n)翻转，成为如下形式
再与x1(n)相乘即可，每次乘完得到y1(n)中的一项。并将翻转后的x2(n)朝向右平移。具体计算如下图
即可得到线性卷积的最后计算结果
y1(n)=[0,2,6,3,2,1,1] (n=0,1,2,3,4,5,6)
(2)周期卷积,由于N=5,先将x1(n)和x2(n)进行周期为5的周期延拓。不够长度则用零代替如下图。
最终结果与N取值相同，所以计算五次即可得到周期卷积后的序列y2。
根据每次x2(n)的平移来计算对应的y2(n),保持x1(n)（n取主值区间0-4,即02210）不变
将每次平移后的x2(N)（N表示计算次数）与x1(n)相乘即可，算式如下：
所以y2(n)=[1,3,6,3,2] (n=0,1,2,3,4)
(3)循环卷积
利用矩阵乘法即可简单得到结果，这里取得是四点循环为例
将x1(n)写为列向量的形式转置符号用^T代替
x1(n)={0,2,2,1}^T
x2(n)（1,2,-1,1）则写为一个4*4矩阵，注意矩阵第一行元素左起向行末再至行最左顺序书写即可，第二行则将第一行行首元素挪至第二行左起第二位，书写顺序与第一行顺序相同
即将x2(n)写为
计算两个矩阵相乘即可得到四点循环卷积的结果
即y3(n)=[2,3,7,3] (n=0,1,2,3)
以上就是线性卷积，周期卷积，循环卷积计算的例题以及计算过程。当循环卷积不是取四点而是L点时，只需要仿照周期卷积的计算将矩阵x1(n)用零补齐成为L长度的列向量，x2(n)每一行用零补齐成为L*L的矩阵。加入的零元素和原先x2(n)元素合并为新元素书写顺序仍然保持不变，相乘即可得到L点循环卷积后的列向量，写成序列形式即可。
特别的当循环卷积的长度L≥M+N-1时，得到的循环卷积结果将会与线性卷积结果一致。例如本例若取L=7,做七点循环卷积则有
（矩阵a表示x2(n)补零后书写的矩阵，矩阵b表示补零后x1(n)的列向量，七点循环卷积结果即为矩阵a与矩阵b的乘积）
对比（1）中的线性卷积结果可以得到，算出的七点循环卷积与线性卷积的结果是相同的。
