dp之完全背包

完全背包类似题目（不过求最小值）：​​杭电1114​​

《背包九讲》
基本形式： 有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用。放入第 i 种 物品的费用是 C i ，价值是 W i
。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗 费的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路： 这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就
是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有 取 0 件、取 1 件、取 2 件……直至取 ⌊V /C i ⌋
件等许多种。 如果仍然按照解01背包时的思路，令 F[i,v] 表示前 i 种物品恰放入一个容 量为 v
的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方 程，像这样： F[i,v] = max {F[i − 1,v − kC i
] + kW i | 0 ≤ kC i ≤ v}

O(V N) 的算法 这个算法使

用一维数组，先看伪代码： F[0…V ]←0 for i ← 1 to N for v ← C i to

V F[v] ← max (F[v],F[v − C i ] + W i ) 你会发现，这个伪代码与01背包问题的伪代码只有 v
的循环次序不同而已。 为什么这个算法就可行呢？首先想想为什么01背包中要按照 v 递减的次序来 循环。让 v 递减是为了保证第 i
次循环中的状态 F[i,v] 是由状态 F[i − 1,v − C i ] 递
推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入 第 i 件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第 i
件物品的子结果 F[i − 1,v − C i ] 。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加 选一件第 i
种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第 i 种物品的子结 果 F[i,v − C i ] ，所以就可以并且必须采用 v
递增的顺序循环。这就是这个简单的 程序为何成立的道理。

值得一提的是，上面的伪代码中两层for循环的次序可以颠倒。这个结论有 可能会带来算法时间常数上的优化。
这个算法也可以由另外的思路得出。例如，将基本思路中求解 F[i,v−C i ] 的
状态转移方程显式地写出来，代入原方程中，会发现该方程可以等价地变形成 这种形式： F[i,v] = max (F[i −
1,v],F[i,v − C i ] + W i ) 将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码： def CompletePack( F,C,W ) for v ← C to V F[v]
← max {F[v],f[v − C] + W}

个人理解： 与01背包相比，内层循环重量从0正向遍历到m正是为了使每一个物品都可以在无限次加入背包（在不超过背包承载重量的前提下）。

1、空间复杂度V（n*m）

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n;  //物品的个数 
int m;  //背包的最大容量 
int value[1005];  //物品的价值 
int weight[1005]; //物品的重量 
int dp[1005][1005]  //dp数组 
/*
完全背包
空间复杂度为V(n*m)的算法
*/
void init()   //初始化函数 
{
    for(int i=1;i<n;i++)  //输入物品的价值 
        cin>>value[i];
    for(int j=1;j<n;j++)  //输入物品的重量 
        cin>>weight[j]; 
}
void CompletePack()  //解决背包问题的函数 
{
    for(int i=1;i<=n;i++)  //遍历每一个物品 
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)  //从1到背包最大容量，遍历每一种组合方式 
        {
            if(weight[i]<=j)  //如何物品重量小于当前背包承载重量 
            {
               if(dp[i-1][j]>dp[i][j-weight[i]]+value[i])  //如果加入该物品没有前一个状态价值大 
                  dp[i][j]=dp[i-1][j];
               else dp[i][j]=dp[i-1][j]+value[i];  //否则加入该物品 
            }
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];   //否则等于上一个状态 
        }
    }
}
int main()  //主函数 
{
    while(cin>>n>>m) //输入n物品的个数，m背包的最大容量
    {
        init();  //初始化函数 
        memset(dp,0,sizeof(dp));   //初始化dp数组 
        CompletePack();  //解决背包问题的函数 
        cout<<dp[n][m]<<endl;   //输出结果 
    }
    return 0;
}

2、空间复杂度V（m）
把dp[i][w]压缩成dp[w],即每次求第i组的时候对上一组（第i-1组）数据进行替换
由于完全背包求dp[w]时需要的是解决第i组基础上再加i物品的数据，因此求第i组的时候需要顺序求解，而且当w＜w[i]时dp[w]=dp[w]，因此只要循环w[i]…M即可

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n;  //物品的个数 
int m;  //背包的最大容量 
int value[1005];  //物品的价值 
int weight[1005]; //物品的重量 
int dp[1005]  //dp数组 
/*
完全背包
空间复杂度为V(m)的算法
*/
void init()   //初始化函数 
{
  for(int i=1;i<n;i++)  //输入物品的价值 
    cin>>value[i];
  for(int j=1;j<n;j++)  //输入物品的重量 
    cin>>weight[j]; 
}
void CompletePack()  //解决背包问题的函数 
{
  for(int i=1;i<=n;i++)  //遍历每一个物品 
     {
         for(int j=weight[i];j<=m;j++)  //从weight[i]到背包最大容量，遍历每一种组合方式 
         {
        if(dp[j-weight[i]]+value[i]>dp[j])
            dp[j]=dp[j-weight[i]]+value[i];   //加入物品 
         }
     }
}
int main()  //主函数 
{
  while(cin>>n>>m) //输入n物品的个数，m背包的最大容量
  {
    init();  //初始化函数 
    memset(dp,0,sizeof(dp));   //初始化dp数组 
    CompletePack();  //解决背包问题的函数 
    cout<<dp[n][m]<<endl;   //输出结果 
  }
  return 0;
}

​

杭电1114题AC代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
int m,n;
int p[505];
int w[505];
int dp[1000005];
void solve()  //完全背包代码 
{
  for(int i=1;i<=n;i++)  //遍历每一个物品 
  {
    for(int j=w[i];j<=m;j++)  //遍历每一种重量的组合方式 
    {
      if(dp[j-w[i]]+p[i]<dp[j])  //取极小值 
         dp[j]=dp[j-w[i]]+p[i];  //状态转移数组取得极小值 
    }
  }
}
int main()
{
  int t,e,f;
  cin>>t;
  while(t--)
  {
    cin>>e>>f;
    m=f-e;  //得到猪猪存钱罐的最大容量 
    cin>>n;
    for(int i=0;i<1000005;i++)  //因为是去最小值，所以给dp赋特别大的值 
       dp[i]=1000000;
    dp[0]=0;  //当背包所装重量为0时，其价值也为0 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      cin>>p[i]>>w[i]; //输入价值和重量 
    } 
    solve();
    if(dp[m]==1000000) cout<<"This is impossible."<<endl;
    else cout<<"The minimum amount of money in the piggy-bank is "<<dp[m]<<"."<<endl;
  }
  return 0;
}