SM2 私钥加密

私钥加密与伪随机性 第二部分

1. 本节课学习另外两种私钥加密安全理论：选择明文攻击（CPA）下不可区分性，选择密文攻击（CCA）下不可区分性；
2. 目录：流加密与CPA，CPA安全加密方案，操作模式，CCA安全加密方案
3. 流加密方案（Stream Cipher）

• 思路：受一次一密方案的启发
• 流加密方案：通过与伪随机的比特流（密钥流）异或来加密
• 多个消息：拼成一个消息
• 密钥流：由一个变长的伪随机生成器产生
• 优点：比分组密码更快
• 缺点：难以做到安全

4. 采用流加密方案的安全多重加密

• 同步模式：用一个流中不同部分分别加密各个消息；
• 异步模式：以密钥和初始向量一起作为输入来产生流，每个明文的加密采用相同的密钥和不同的初始向量

• 初始向量（Initial Vector），$IV$是随机选取的并且是公开的；其生成是随机的并不受控制，但生成后并不保密；密钥的生成是随机的并不受控制，但生成后也要保密。

• 两种模式差异：

• 同步模式适合持续通信场景，例如语音；异步模式适合间断通信场景，例如即时消息。

5. 流密码的安全性

1. 现状：没有标准化和流行的方案，安全性仍有疑问，例如在802.11中WEP协议的RC4，线性反馈移位寄存器（Linear Feedback Shift Registers）；
2. 警告：不要使用任何流加密方案，如果一定需要的话，采用由分组加密方案构造的。
3. eStream项目致力于设计安全的流密码

6. 相关密钥：真实世界例子

• 用于多重加密的密钥（初始向量和密钥对）必须是独立的。否则，前面的攻击就会生效；
• 对于802.11b WEP的若干攻击：

• WEP为异步模式，$\mathsf{Enc}(m_i) := \left< IV_i, G(IV_i\|k) \oplus m_i\right>$
• $IV$长度为24比特，在$2^{24} \approx$ 16M 帧后$IV$会产生重复；
• 在一些WiFi网卡上，在电源重启后$IV$重置为0；
• $IV_i = IV_{i-1} + 1$. 对于RC4，在40,000帧后可以恢复 $k$

7. 多重加密（Multiple Encryptions）

• 多个明文的加密实验$\mathsf{PrivK}^{\mathsf{mult}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)$，当一次加密多个明文时，窃听者敌手能够区分出两组明文吗？
• 一个敌手$\mathcal{A}$与一个挑战者$\mathcal{C}$进行3轮交互：

1. $\mathcal{A}$选择两个长度相同、内容不同明文向量$\vec{M}_0=(m_0^1,\dots,m_0^t)$, $\vec{M}_1=(m_1^1,\dots,m_1^t)$，其中两个向量中同一位置的明文长度相同$\forall i, |m_0^i| = |m_1^i|$，发送给$\mathcal{C}$；
2. $\mathcal{C}$根据密钥生成算法生成一个新密钥$k \gets \mathsf{Gen}(1^n)$，一个随机比特$b \gets \{0,1\}$。对向量$\vec{M}_b$中每个明文加密 $c^i \gets \mathsf{Enc}_k(m_b^i)$ 得到一个密文向量 $\vec{C}=(c^1,\dots,c^t)$ ，并发送给$\mathcal{A}$；
3. $\mathcal{A}$输出对所加密明文向量的猜测$b$，若$b=b$，则$\mathcal{A}$成功；否则，失败；

• 这与之前的单个消息不可区分实验类似的，区别在于用同一个密钥加密的多个消息。敌手可以获得多个明文的密文，比单个明文不可区分实验中的敌手有更强的能力。

8. 多重加密安全定义

• $\Pi$ 是窃听者出现时不可区分的多重加密方案，如果任意PPT的敌手$\mathcal{A}$, 存在可忽略的函数$\mathsf{negl}$
  $\Pr\left[\mathsf{PrivK}^{\mathsf{mult}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)=1\right] \le \frac{1}{2} + \mathsf{negl}(n).$
• 迄今学习的密码学方案是否是多重加密不可区分的？

9. 攻击确定性多重加密方案

• 问题：如果一个加密方案中加密算法是确定性的，即同一个明文会被同一个密钥加密成同一个密文，那么该加密方案是多重加密安全的吗？
• 攻击：对于确定性加密方案，敌手可以构造$m_0^1 = m_0^2$ 并且 $m_1^1 \neq m_1^2$，然后当$c^1 = c^2$，输出 $b$，否则 $b$。

10. 选择明文攻击（Chosen-Plaintext Attacks (CPA)）

• 敌手具有获得其所选择明文对应的密文的能力。
• 第二次世界大战中的例子：美国海军密码分析学家相信密文“AF”表示日语中的“中途岛”；但美国将军不认为中途岛会遭到攻击；美国海军密码分析学家发送了一个明文，中途岛淡水供给不足；日本军队截获的明文，并发送了一段密文，“AF”淡水不足；美国军队派出三艘航空母舰并且取胜。
• 这里例子里，美国海军密码分析学家选择了明文并得到了密文。

11. CPA安全实验

• CPA不可区分实验 $\mathsf{PrivK}^{\mathsf{cpa}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)$:

1. 挑战者生成密钥 $k \gets \mathsf{Gen}(1^n)$；（为了下一步的加密预言机）
2. $\mathcal{A}$ 被给予输入 $1^n$ 和对加密函数 $\mathsf{Enc}_k(\cdot)$的预言机访问（oracle access） $\mathcal{A}^{\mathsf{Enc}_k(\cdot)}$ ，输出相同长度 $m_0, m_1$
3. 挑战者生成随机比特 $b \gets \{0,1\}$，将挑战密文 $c \gets \mathsf{Enc}_k(m_b)$ 发送给 $\mathcal{A}$；
4. $\mathcal{A}$ 继续对 $\mathsf{Enc}_k(\cdot)$的预言机的访问，输出$b$；如果$b$，则$\mathcal{A}$成功$\mathsf{PrivK}^{\mathsf{cpa}}_{\mathcal{A},\Pi}=1$，否则 0。

• 该实验与窃听者不可区分实验的区别在于，敌手可访问加密预言机，在实验过程中始终可以（产生两个明文阶段，猜测被加密明文阶段）获得任意明文被同一密钥加密的密文，而且密文是逐个获得，可以根据之前的明文和密文对来“适应性地”构造新的查询。
• CPA敌手比多重加密的敌手更“强大”，因为多重加密敌手是可以一次性地获得一组密文，而CPA敌手可以“多次适应性地”获得密文。

12. CPA安全

• $\Pi$ 是CPA不可区分加密方案 (CPA安全的)，如果任意概率多项式时间算法$\mathcal{A}$，存在可忽略的函数$\mathsf{negl}$使得，
  $\Pr\left[\mathsf{PrivK}^{\mathsf{cpa}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)=1\right] \le \frac{1}{2} + \mathsf{negl}(n)$
• 定理：CPA安全也是多重加密安全的。证明略。直觉上，CPA敌手比多重加密敌手更强大。
• 之前的方案也难以实现CPA安全；
• 多重加密安全意味着CPA安全？（作业）

13. 伪随机函数（Pseudorandom Function）概念

• 为了实现CPA安全，需要新的数学工具为加密提供随机性，为此引入伪随机函数（PRF），是对伪随机生成器（PRG）的泛化：PRG从一个种子生成一个随机串，PRF从一个key生成一个函数；
• 带密钥的函数Keyed function$F : \{0,1\}^* \times \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$

• $F_k : \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$, $F_k(x) \overset{\text{def}}{=} F(k,x)$
• 两个输入到一个输出，看上去像，但不是加密函数；输入key，得到一个一输入到一输出的函数；

• 查表Look-up table$f$: $\{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$ 需要多少比特信息存储？

• 查表是一个直接描述输入与输出间映射的表格，一个条目对应一个输入与一个输出；当该映射是随机产生的，是一个真随机函数；

• 函数族Function family$\mathsf{Func}_n$: 包含所有函数 $\{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$. $|\mathsf{Func}_n| = 2^{n\cdot2^n}$

• 一个PRF是函数族中一个子集，key确定下的PRF是函数族中一个元素，一个查表是函数族中一个元素；

• 长度保留Length Preserving: $\ell_{key}(n) = \ell_{in}(n) = \ell_{out}(n) = n$；密钥长度与函数输入、输出长度相同为$n$；没有特殊说明时，只讨论长度保留的函数；

14. 伪随机函数定义

• 直觉上，一个PRF生成的带密钥的函数与从函数族中随机选择的真随机函数（查表）之间是不可区分的；然而，一个真随机函数具有指数长度，无法“预先生成”，只能“on-the-fly”的使用，引入一个对函数$\mathcal{O}$的确定性的预言机访问（oracle access）$D^\mathcal{O}$。
• 一个带密钥的函数是一个伪随机函数，对任意PPT区分器$D$，$\left|\Pr[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1] - \Pr[D^{f(\cdot)}(1^n)=1]\right| \le \mathsf{negl}(n)$，其中$f$是$\mathsf{Func}_n$中随机函数。
• 问题一个固定长度的一次一密方案是一个PRF吗？
• PRF和PRG的关系在后面还会学习，可以由PRG来构造PRF。

15. PRF例题

• 对于一个PRF，在key保密和没有预言机访问时，给指定输入，能以不可忽略的概率猜测输出相关信息吗？
• 如果是PRF，则给出两个函数的相似性；否则，给出一个区分器可以区分出该函数；

16. 以PRF实现CPA安全

• 新随机串 $r$，每次新生成一个随机串；
• $F_k(r)$: $|k| = |m| = |r| = n$. 长度保留；
• $\mathsf{Gen}$: $k \in \{0,1\}^n$.
• $\mathsf{Enc}$: $s := F_k(r)\oplus m$, $c := \left<r, s\right>$. 密文包括两部分新随机串，以及异或输出；
• $\mathsf{Dec}$: $m := F_k(r)\oplus s$.
• 定理：上述方案是CPA安全的；

17. 从PRF到CPA安全的证明

• 思路：从PRF的区分器算法$\mathcal{D}$规约到加密方案敌手算法$\mathcal{A}$，区分器$\mathcal{D}$作为敌手$\mathcal{A}$的挑战者，敌手$\mathcal{A}$实验成功时区分器$\mathcal{D}$输出1。分两种情况，当输入真随机函数$f$时，相当于一次一密；当输入伪随机函数$F_k$时，为加密方案。
• 规约：$\mathcal{D}$输入预言机，输出一个比特；$\mathcal{A}$的加密预言机访问通过$\mathcal{D}$的预言机$\mathcal{O}$来提供，$c := \left<r, \mathcal{O}(r) \oplus m \right>$；$\mathcal{D}$输出1，当$\mathcal{A}$在实验中成功；

18. 从PRF到CPA安全的证明（续）

• 考虑真随机函数$f$的情况，分析不可区分实验成功概率$\Pr[\mathsf{PrivK}_{\mathcal{A},\tilde{\Pi}}^{\mathsf{cpa}}(n) = 1] = \Pr[\mathsf{Break}]$。敌手$\mathcal{A}$访问加密预言机可以获得多项式$q(n)$个明文与密文对的查询结果并得到随机串和pad$\{ \left< r_i, f(r_i) \right> \}$；当收到挑战密文$c=\left<r_c, s:=f(r_c)\oplus m_b\right>$时，根据之前查询结果中随机串是否与挑战密文中随机串相同，分为两种情况：

• 当有相同随机串时，根据$r$可以得到$f(r_c)$，$m_b=f(r_c)\oplus s$，但这种情况发生的概率$q(n)/2^n$是可忽略的；
• 当没有相同随机串时，输出是随机串，相当于一次一密，成功概率=1/2；

• $\Pr[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1] = \Pr[\mathsf{PrivK}_{\mathcal{A},\Pi}^{\mathsf{cpa}}(n) = 1] = \frac{1}{2} + \varepsilon(n).$
• $\Pr[D^{f(\cdot)}(1^n)=1] = \Pr[\mathsf{PrivK}_{\mathcal{A},\tilde{\Pi}}^{\mathsf{cpa}}(n) = 1] = \Pr[\mathsf{Break}] \le \frac{1}{2} + \frac{q(n)}{2^n}.$
• $\Pr[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1] - \Pr[D^{f(\cdot)}(1^n)=1] \ge \varepsilon(n) - \frac{q(n)}{2^n}.$ 根据伪随机函数定义，$\varepsilon(n)$
• 小结：通过规约将$\mathcal{A}$的不可区分实验成功的概率与$D$的区分器实验输出1的概率建立等式；分析输入真随机函数预言机时$D$输出1的概率（即不可区分实验成功概率）是1/2+可忽略函数；根据PRF的定义，输入伪随机函数预言机时$D$输出1的概率（1/2+$\varepsilon(n)$）与输入真随机函数预言机时$D$输出1的概率（1/2）的差异时可忽略的。

19. 从PRF到CPA安全：变长消息

• 对于任意长度消息 $m = m_1, \dots , m_{\ell}$，$c := \left< r_1, F_k(r_1) \oplus m_1, r_2, F_k(r_2) \oplus m_2, \dots, r_\ell, F_k(r_\ell) \oplus m_\ell\right>$
• 推论：如果$F$是一个 PRF，那么 $\Pi$
• 有效性: $|c| = 2|m|$. 密文长度是明文长度的二倍，并且需要大量的真随机串；

20. 伪随机排列（Pseudorandom Permutations）

• 为了提高对任意长度消息加密的效率，以及更高级的加密基础工具，学习伪随机排列PRP的概念；
• 双射 Bijection: $F$
• 排列 Permutation: 一个从一个集合到自身的双射函数；
• 带密钥的排列 Keyed permutation: $\forall k, F_k(\cdot)$是排列；类似带密钥的函数；
• $F$ 是一个双射 $\iff F^{-1}$
• 定义：一个有效的带密钥的排列 $F$ 是PRP，如果对于任意PPT的区分器$D$，
  $\left|\Pr[D^{F_k(\cdot),F_k^{-1}(\cdot)}(1^n)=1] - \Pr[D^{f(\cdot),f^{-1}(\cdot)}(1^n)=1]\right| \le \mathsf{negl}(n)$
• 问题：一个PRP也是一个PRF吗？

21. PRP例题

• 对1比特的PRP、PRF的分析；
• 定理：如果 $F$ 是一个 PRP 并且 $\ell_{in} (n) \ge n$，那么 $F$

22. 操作模式概念（Modes of Operation）

• 操作模式是使用PRP或PRF来加密任意长度消息的方法；
• 操作模式是从PRP或PRF来构造一个PRG的方法；
• 将一个消息分成若干等长的块（分组，block），每个块以相似方式处理；

23. Electronic Code Book (ECB) 模式

• 在窃听者出现时，是否是不可区分的？
• $F$

24. 对ECB的攻击

• 为什么仍然可以识别企鹅？

25. **Cipher Block Chaining (CBC)**模式

• $IV$初始向量，一个新的随机串；
• 是CPA的吗？可并性化吗？F可以是任意PRF吗？

26. Output Feedback (OFB) Mode模式

• 是CPA安全吗？可并性化吗？F可以是任意PRF吗？

27. Counter (CTR) Mode模式

• $ctr$是一个初始向量，并且逐一增加；
• 是CPA安全吗？可并性化吗？F可以是任意PRF吗？

28. CTR模式是CPA安全

• 定理：如果$F$是一个PRF，那么随机CTR模式是CPA安全的。
• 证明：其安全性与之前基于PRF的CPA安全证明类似，从PRF的伪随机假设规约到CPA安全加密方案。其中，对$ctr$的安全性直觉在于，$ctr$也是在加密前不可预测的，且每个块所用$ctr$都是不同的；
• 当加密预言机是由真随机查表构成时，敌手多次访问加密预言机得到的$ctr$序列与挑战密文的$ctr$序列之间有重叠的概率$\frac{2q(n)^2}{2^n}$是可以忽略的；若没有重叠，则相当于一次一密；

29. CTR模式是CPA安全（续）

• 规约与之前证明基于PRF的CPA安全加密方案一样，证明过程也类似。

30. 初始向量不应该可预测

• 如果$IV$是可预测的，那么CBC/OFB/CTR模式不是CPA安全的。
• 为什么？（作业）
• 在SSL/TLS 1.0中的漏洞：记录$\#i$的$IV$是上一个记录$\#(i-1)$的密文块。
• OpenSSL中API：需要用户输入$IV$，但$IV$应在函数内实现。当$IV$不充分随机时不安全。

31. 非确定性加密

• 有三种通用的实现CPA安全的非确定性加密方法：
• 随机化的：$r$随机生成，如构造5；需要更多熵，长密文
• 有状态的：$r$为计数器，如CTR模式；需要通信双方同步计数器
• 基于Nonce的：$r$只用一次；需要保证只用一次，长密文

32. 选择密文攻击 Chosen-Ciphertext Attacks (CCA)

• CCA不可区分实验 $\mathsf{PrivK}^{\mathsf{cca}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)$:

1. 挑战者生成密钥 $k \gets \mathsf{Gen}(1^n)$；（为了下一步的预言机）
2. $\mathcal{A}$ 被给予输入 $1^n$ 和对加密函数 $\mathsf{Enc}_k(\cdot)$和解密函数$\mathsf{Dec}_k(\cdot)$的预言机访问（oracle access） $\mathcal{A}^{\mathsf{Enc}_k(\cdot)}$ 和 $\mathcal{A}^{\mathsf{Dec}_k(\cdot)}$，输出相同长度 $m_0, m_1$
3. 挑战者生成随机比特 $b \gets \{0,1\}$，将挑战密文 $c \gets \mathsf{Enc}_k(m_b)$ 发送给 $\mathcal{A}$；
4. $\mathcal{A}$ 继续对除了挑战密文$c$之外的预言机的访问，输出$b$；如果$b$，则$\mathcal{A}$成功$\mathsf{PrivK}^{\mathsf{cca}}_{\mathcal{A},\Pi}=1$，否则 0。

定义：一个加密方案是CCA安全的，如果实验成功的概率与1/2的差异是可忽略的。

11. 理解CCA安全

• 在现实世界中，敌手可以通过影响被解密的内容来实施CCA。如果通信没有认证，那么敌手可以以通信参与方的身份来发送特定密文。
• CCA安全性意味着“non-malleability”（不可锻造性），不能修改密文来获得新的有效密文。
• 之前的方案中没有CCA安全，因为都不是不可锻造。
• 对基于PRF的CPA安全加密方案的CCA攻击：

• $\mathcal{A}$ 获得挑战密文 $c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right>$，并且查询与$c$只相差了一个翻转的比特的密文$c$，那么
  $m$ 应该与 $m_{b}$

• 问题：上述操作模式也不是CCA安全的（作业）
• 由此，可以总结出CCA下敌手的常用策略：

• 修改挑战密文$c$为$c$，并查询解密预言机得到$m$
• 根据关系，由$m$来猜测被加密明文$m_b$

12. Padding-Oracle（填充预言机）攻击真实案例

• CAPTCHA服务商为Web网站提供验证用户是否为人类的服务。为此，一个CAPTCHA服务器与Web服务器间事先共享一个密钥$k$，服务工作原理如下：

1. 当Web服务器验证用户是否为人类时，生成一个消息$w$并以$k$加密，向用户发送一个密文$Enc_k(w)$；
2. 用户将密文$Enc_k(w)$转发给CAPTCHA服务器；（可实施填充预言机攻击）
3. CAPTCHA服务器用密钥$k$将密文解密，根据解密结果返回给用户信息：一个由$w$生成的图像，或者坏填充错误；
4. 用户根据图像获得 $w$ 并将 $w$

• 在第2步，当恶意用户可以利用CAPTCHA服务器会返回给用户坏填充错误这一漏洞，来实施填充错误攻击。

13. Padding-Oracle（填充预言机）攻击

• 在PKCS #5 padding（填充）标准中，为了将一个消息的长度“填充”到块长度的整数倍，在最后一个块中填充$b$个字节的$b$；必要时，添加一个哑块（dummy block）。存在一种攻击手段：当填充错误时，解密服务器返回一个“坏填充错误”，这相当于提供了解密预言机，最终可以获得整个明文；
• 具体攻击原理是，更改密文（包含$IV$）并发送给解密服务器。一旦触发了“坏填充错误”，则说明对密文的更改导致了填充内容的更改；否则，对密文的更改导致了原明文的更改；
• 攻击的第一步判断消息是否为空：在单个块的CBC中，通过更改$IV$的首个字节，攻击者能够获知是否$m$是否为空。因为如果$m$是空的话，更改$IV$首个字节将更改解密出的填充内容，解密服务器就会返回坏填充错误（1比特信息），具体分析如下：

• 如果$m$是空的，那么明文会添加一个哑块$\{b\}^b$；
• PRP的输入为$IV\oplus \{b\}^b$；设$IV$的首个字节为$x$，则PRP的输入为$(x \oplus b) \| (\{\cdot\}^{b-1} \oplus \{b\}^{b-1})$；
• 将$IV$的首个字节从$x$改成$y$变为 $y \| (\{\cdot\}^{b-1})$，不改变$c_1$解密得到的PRP的输入不会变，而解密出的明文会改变为 $(x \oplus y \oplus b) \| \{b\}^{b-1}$；
• 上述明文首个字节一定不是$b$，这是填充格式错误，会触发服务器返回错误；
• 如果上面的尝试没有触发错误，那么说明消息非空；下一步，发现消息长度是否为1字节，方法与上一步一样，区别在于只改变$IV$的第2个字节；如此继续，获得消息的长度；（作业）

14. Padding-Oracle攻击（续）

• 一旦获得消息的长度，也就知道了填充的长度$b$，采用下面的方法来获得消息的最后一个字节内容，进而获得整个消息；
• 更改密文中倒数第二块，来获得消息的最后一个字节$s$；
• 明文的最后一个块 $m_{last} = \cdots s \| \{b\}^{b}$，密文的倒数第二个块 $c_{last-1} = \cdots t \| \{\cdot \}^{b}$；
• 最后一块的PRP输入为$c_{last-1} \oplus m_{last} = \cdots (s \oplus t) \| (\{b\}^b \oplus \{\cdot \}^{b})$；
• 敌手更改 $c_{last-1}$ 为 $c_{last-1}$；其中，$u$是敌手猜测的某个字节；
• 解密获得最后一块明文$m$；
• 如果没有返回坏填充错误，那么意味着填充了$b+1$个字节的$b+1$，所以 $s \oplus t \oplus u = (b+1)$ ，而 $s = t \oplus u \oplus (b+1)$

15. 总结

• 略