前言：


这一篇博客记录一下求斐波那契数列第n项值得几种方法，用到了递归和迭代的方法，所以首先我们来区分一下递归和迭代，再来记录几种方法。

递归和迭代

联系

递归与迭代都是循环的一种。

区别

1、程序结构不同

  • 递归是重复调用函数自身的循环。
  • 迭代是函数内部代码的循环。
  • 注意：迭代和普通循环的区别：迭代时，循环代码中参与计算的变量也是要返回的结果，当前保存的结果作为下一次循环计算的初始值。

2、算法结束方式不同

  • 递归是在遇到满足终止条件的情况时结束循环。
  • 迭代是使用计数器结束循环。
  • 注意：很多情况会采用多种循环混合采用。

3、效率不同

  • 在循环的次数较大时，迭代的效率明显高于递归。

求斐波那契数列第n项值

递归方法：

思想：

利用斐波那契数列计算公式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，递归调用函数自己。时间复杂度为O(2^n)。

代码：

// 斐波那契数列--递归：O(2^n)
    function fib(n) {
        if(n<2) {
            return n;
        }
        return fib(n-1) + fib(n-2);
    }
    console.log(fib(8));

注意：

此段代码中if(n<2) {return 0;}其实不够严谨，因为这样的话即使传入参数n为负数（如-1）也会返归n，在没有严格规定实参必须为非负整数的情况下，最好还是写成if(n == 0) return 0; if(n == 1) return 1;。

递归方法优化：

思想：

上述递归的方法，每一次执行到f(n-1)和f(n-2)时都要重新计算一遍，还要开辟新的空间来保存它们，比较浪费空间，可以优化为：开辟一个缓存区，存放计算过的每一个值，下一次用到时直接从缓存区查找，找不到则再计算，如此，可以减少空间上的浪费。

代码：

// 优化递归--结构体当缓存区
    function fib1(n) {
        const cache = {
            '0': 0,
            '1': 1
        }
        function helper(n) {
            if(n in cache) return cache[n];
            const res = helper(n-1) + helper(n-2);
            cache[n] = res;
            return res;
        }
        return helper(n);
    }
    console.log(fib1(8));

迭代方法：

思想：

此方法的思路是将每一项计算出来的f(n)存入数组，使用迭代的方法，每一次迭代完成，数组中就多了一项元素。

此处存疑？

上面说到，迭代是循环中参与计算的变量就是要返回的变量，而我的代码这里参与计算的是数组，返回的却是数组的第n项，不知道这个算不算是正宗的迭代。

代码：

// 迭代：O(n)
    function fib2(n) {
        let arr = [0, 1];
        for (let i = 2; i<=n; i++) {
            arr.push(arr[i-1] + arr[i-2]);
        }
        return arr[n];
    }
    console.log(fib2(8));

迭代方法优化：

思想：

上一段代码中，随着n的值的增大，数组会无限变长，而我们知道斐波那契数列是无穷的，所以当n值很大时，就对空间浪费巨大。反正计算新的值时也就只会用到它的前两个值，每一次从末尾推入一个新元素，就同时从开头删去一个元素，让数组的长度始终只用保存两个元素，大大减少了空间的使用。

代码：

// 优化迭代--保持数组长度总是为2，节约空间
    function fib3(n) {
        let arr = [0, 1];
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1) return 1;
        for (let i = 2; i<=n; i++) {
            // 分成两步实现
            /* // 将0号元素从数组删除
            let one = arr.shift();
            // 添加新的元素
            arr.push(one + arr[0]); */

            // 一步实现
            arr.push(arr.shift() + arr[0]);
        }
        return arr[1];
    }
    console.log(fib3(0));