有限域求逆代码java 有限域上的运算

 

1 #include<iostream>
  2 #include <cstdlib>
  3 #include <ctime>
  4 #include <string>
  5 using namespace std;
  6 /*
  7  *对于多项式的,我们可以用一个二进制数来表示进行减法
  8  *例如：x^3+x+1 可以以二进制数1011来表示,即十进制数的11
  9  *本题给定既约多项式 x^8+x^4+x^3+x+1 可以通过用二进制数100011011来表示
 10  *即十进制数283
 11  *因此其生成的有限域GF(2^8)/(x^8+x^4+x^3+x+1),共有2^8=256个元素
 12  */
 13 
 14 //定义一些常量
 15 const int M = 283;  //x^8+x^4+x^3+x+1
 16 const int p = 2;   //模2
 17 const int N = 256;  //有限域内的元素个数
 18 
 19 int a,b;     //在有限域内选取的两个元素
 20 
 21 int remainvalue;  //余数式
 22 int x,y;
 23 
 24 class GFpn
 25 {
 26 public:
 27     //在有限域内部随机选取两个元素
 28     void random_element();
 29 
 30     //返回一个十进制数的二进制数的最高位
 31     int index_of_binary_max(int value);
 32 
 33     //将一个十进制数转化为对应的多项式字符串
 34     string value_into_polynomial(int value);
 35 
 36     //求一个数的2次幂,即返回2^value.
 37     int power_of_value(int value);
 38 
 39     //返回多项式的除法,remainvalue为余数
 40     int divide(int a,int b,int &remainvalue); 
 41 
 42     //相当于ax - q * bx 在多项式异或的范畴下
 43     //三元组运算
 44     int Tx(int ax,int q,int bx);
 45     
 46     //扩展的欧几里得算法
 47     //其中x返回的是b mod m的多项式的乘法逆元
 48     //所对应的的十进制数表达式
 49     int extent_gcd(int m,int b,int &x,int &y);
 50 
 51     //定义多项式有限域内的加法运算
 52     //实际上是两个数的异或
 53     int polynomial_add(int a,int b);
 54 
 55     //定义多项式有限域内的减法运算
 56     //实际上也是两个数的异或
 57     int polynomial_sub(int a,int b);
 58 
 59     //定义多项式有限域内的乘法运算
 60     //通过移位,来实现逐位异或
 61     int polynomial_mul(int a,int b);
 62 
 63     //定义多项式的除法运算
 64     //实质上也是乘以多项式在有限域的逆元
 65     int polynomial_div(int a,int b);
 66 };
 67 
 68 //在有限域中随机选取两个元素
 69 //等价为在0——N-1中随机选取两个数
 70 void GFpn::random_element()
 71 {
 72     a = rand() % N;
 73     b = rand() % N;
 74 }
 75 
 76 
 77 //求数的二进制数的最高位
 78 int GFpn::index_of_binary_max(int value)
 79 {
 80     int tmp = 1;
 81     int count = 0;
 82     int i;
 83     for(i = 0;i < sizeof(int) * 8;i++)
 84     {
 85           if(value & tmp)
 86              count = i;
 87           tmp = tmp * 2;
 88     }
 89     return count;
 90 }
 91 
 92 //将一个数转化为多项式
 93 //如：11——>1011——>x^3+x+1
 94 string GFpn::value_into_polynomial(int value)
 95 {
 96     string result;
 97     int i;
 98     int tmp = 1;
 99     int flag = 0;
100     int c = index_of_binary_max(value);
101     for(i = 0;i < sizeof(int) * 8;i++)
102     {
103           if(value & tmp)
104           {
105              if(i == 0)
106              {
107                  result += "1";
108              }
109              else if(i == 1)
110              {
111                result += "x";
112              }
113              else
114              {
115                result += "x^";
116                result += '0'+ i;
117              }
118              flag = 1;
119              if(i < c)
120                result += "+";
121           }   
122           tmp = tmp * 2;
123     }
124     if(flag == 0)
125       result += "0";
126     return  result;
127 }
128 
129 //求一个数的2次幂,即返回2^value.
130 int GFpn::power_of_value(int value)
131 {
132     return 1 << (value);
133 }
134 
135 
136 //返回多项式的除法,remainvalue为余数
137 int GFpn::divide(int a,int b,int &remainvalue)
138 {
139     int aindex = index_of_binary_max(a);
140     int bindex = index_of_binary_max(b);
141     if(aindex < bindex)
142     {
143         remainvalue = a;
144         return 0;
145     }
146     int c = aindex - bindex;
147     int tmp = b;
148     tmp = tmp << c;
149     a = a ^ tmp;
150     return power_of_value(c) | divide(a,b,remainvalue);
151 }
152 
153 
154 //相当于ax - q * bx 在多项式异或的范畴下
155 //三元组运算
156 int GFpn::Tx(int ax,int q,int bx)
157 {
158     int tmp = 1;
159     int value = 0;
160     int i;
161     for(i = 0;i < sizeof(int) * 8;i++)
162     {
163           if(q & tmp)
164           {
165              value = value ^ (bx << i);   
166           }   
167           tmp = tmp * 2;
168     }
169     return ax ^ value;
170 }
171 
172 
173 //扩展的欧几里得算法
174 int GFpn::extent_gcd(int m,int b,int &x,int &y)
175 {
176     //先定义(a1,a2,a3)三元组
177     int a1 = 1,a2 = 0,a3 = m;
178     //再定义(b1,b2,b3)三元组
179     int b1 = 0,b2 = 1,b3 = b;
180     int remainvalue=0;
181     while(1)
182     {
183         if(b3==0)
184             return a3;
185         if(b3==1)
186             return b3;
187         int q = divide(a3,b3,remainvalue);
188         //分别定义(t1,t2,t3)三元组
189         int t1 = Tx(a1,q,b1);     //q = a3 / b3;(多项式范畴下)
190         int t2 = Tx(a2,q,b2);     //t1<——a1 - q * b1
191         int t3 = remainvalue;     //t2<——a2 - q * b2
192         //迭代过程  
193         //(a1,a2,a3)<——(b1,b2,b3)
194         a1 = b1;a2 = b2;a3 = b3;
195         //(b1,b2,b3)<——(t1,t2,t3)
196         b1 = t1;b2 = t2;b3 = t3;
197         x = b2;
198         y = b3; 
199     }
200 }
201 
202 //定义多项式有限域内的加法运算
203 //实际上是两个数的异或
204 int GFpn::polynomial_add(int a,int b)
205 {
206     int result;
207     result = a ^ b;
208     return result;
209 }
210 
211 //定义多项式有限域内的减法运算
212 //实际上也是两个数的异或
213 int GFpn::polynomial_sub(int a,int b)
214 {
215     int result;
216     result = a ^ b;
217     return result;
218 }
219 
220 //定义多项式有限域内的乘法运算
221 //通过移位,来实现逐位异或
222 int GFpn::polynomial_mul(int a,int b)
223 {
224     int result = 0;
225     int remain = 0;
226     int num = index_of_binary_max(b);
227     int i;
228     for(i = 0;i < num;i++)
229     {
230         if(b & 1)
231         {
232             result ^= a;
233         }
234         a <<= 1;
235         b >>= 1;
236     }
237     result ^= a;
238     result = divide(result,M,remain);
239     return remain;
240 }
241 
242 //定义多项式的除法运算
243 //实质上也是乘以多项式在有限域的逆元
244 int GFpn::polynomial_div(int a,int b)
245 {
246     int result;
247     int aa = 0,bb = 0;
248     int div_result = extent_gcd(M,b,aa,bb);
249     result = polynomial_mul(a,aa);
250     return result;
251 }
252 
253 int main()
254 {
255     GFpn gg;
256     //srand()函数产生一个以当前时间开始的随机种子.以保证每次产生的随机数矩阵都不相同
257     srand((unsigned)time(0));   
258     cout << "给定多项式: " << gg.value_into_polynomial(M) << endl;
259     cout << endl << "生成有限域......" << endl;
260     cout << "以下是有限域内的所有元素:"<< endl;
261     int i;
262     for(i = 0;i < N;i++)
263         cout << gg.value_into_polynomial(i) << endl;
264     cout << endl;
265     cout << "先从所构造的有限域中随机选取两个元素,分别为:" << endl;
266     gg.random_element();
267     cout << gg.value_into_polynomial(a) << " 和 " << gg.value_into_polynomial(b) << endl;
268     cout << endl << "分别进行加减乘除运算:" << endl;
269     cout << "加:" << "(" << gg.value_into_polynomial(a) << ") + (" << gg.value_into_polynomial(b) << ") = " 
270         << gg.value_into_polynomial(gg.polynomial_add(a,b)) << endl;
271     cout << endl;
272     cout << "减:" << "(" << gg.value_into_polynomial(a) << ") - (" << gg.value_into_polynomial(b) << ") = " 
273         << gg.value_into_polynomial(gg.polynomial_sub(a,b)) << endl;
274     cout << endl;
275     cout << "乘:" << "(" << gg.value_into_polynomial(a) << ") * (" << gg.value_into_polynomial(b) << ") = " 
276         << gg.value_into_polynomial(gg.polynomial_mul(a,b)) << endl;
277     cout << endl;
278     cout << "除:" << "(" << gg.value_into_polynomial(a) << ") / (" << gg.value_into_polynomial(b) << ") = " 
279         << gg.value_into_polynomial(gg.polynomial_div(a,b)) << endl;
280     cout << endl;
281     int a;
282     cout << "是否还要继续:(按1退出)(按2继续)?" << endl;
283 
284     while(cin >> a && a != 1)
285     {
286         cout << "先从所构造的有限域中随机选取两个元素,分别为:" << endl;
287         gg.random_element();
288         cout << gg.value_into_polynomial(a) << " 和 " << gg.value_into_polynomial(b) << endl;
289         cout << endl << "分别进行加减乘除运算:" << endl;
290         cout << "加:" << "(" << gg.value_into_polynomial(a) << ") + (" << gg.value_into_polynomial(b) << ") = " 
291             << gg.value_into_polynomial(gg.polynomial_add(a,b)) << endl;
292         cout << endl;
293         cout << "减:" << "(" << gg.value_into_polynomial(a) << ") - (" << gg.value_into_polynomial(b) << ") = " 
294             << gg.value_into_polynomial(gg.polynomial_sub(a,b)) << endl;
295         cout << endl;
296         cout << "乘:" << "(" << gg.value_into_polynomial(a) << ") * (" << gg.value_into_polynomial(b) << ") = " 
297             << gg.value_into_polynomial(gg.polynomial_mul(a,b)) << endl;
298         cout << endl;
299         cout << "除:" << "(" << gg.value_into_polynomial(a) << ") / (" << gg.value_into_polynomial(b) << ") = " 
300             << gg.value_into_polynomial(gg.polynomial_div(a,b)) << endl;
301         cout << endl;
302         cout << "是否还要继续:(按1退出)(按2继续)?" << endl;
303     }
304     return 0;
305 }

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