逻辑回归违约预测模型 逻辑回归预测的结果

文章目录

• 1.简单介绍
• 2.优缺点
• 3.模型理解与推导

• 3.1 二分类问题
• 3.2 Sigmod函数

• 函数形式
• 函数图像
• 函数特点

• 3.3 预测模型
• 3.4 模型解释
• 3.5 代价函数

• 4. 代码实现（python）

• 4.1 Demo实践
• 4.2 基于鸢尾花（iris）数据集的逻辑回归分类实践

1.简单介绍

逻辑回归（Logistic Regression，简称LR）虽然带有回归两个字，但它其实是一种分类模型。逻辑回归被广泛应用于各个领域之中，是当下最流行的学习算法之一。

2.优缺点

• 优点：模型简单，模型的可解释性强，易于理解和实现；计算代价不高，速度很快，存储资源低
• 缺点：容易欠拟合，分类精度不高

3.模型理解与推导

3.1 二分类问题

在二分类问题里，我们最终要得到的预测结果是离散的，并且预测结果只有两种情况，即$y\in \left \{ 0,1 \right \}$
而线性回归模型的输出结果是连续的，且值域是整个实数集。
为了方便进行分类预测，我们需要一个函数，来帮助我们把线性回归模型的输出结果映射到(0，1)区间内，即得到概率预测值。

下面介绍一下Sigmod函数。

3.2 Sigmod函数

函数形式

$f(x) = \frac{1}{1+e^{-x} }$

函数图像

函数特点

• 容易求导，函数单调递增
• 值域在（0，1）范围内

3.3 预测模型

线性回归的基本方程为：
$g \left ( x \right ) = \theta ^{T} x$
联立线性回归方程与Sigmod函数得：
$h_{\theta } \left ( x \right ) =\frac{1}{1+e^{-\theta ^{T}x } }$
最终求得的$h_{\theta}(x)$就是我们所需要的预测模型。

3.4 模型解释

$h_{\theta}(x)$的输出值可以理解为：对一个输入值x，其预测结果为$y = 1$的概率估计。
即：$h_{\theta } \left ( x \right ) = P\left ( y = 1|x;\theta \right )$

• 举例：（假设y = 0是类别0，y = 1是类别1）
• 当$h_{\theta}(x)=0.7$时，可以解释为：输入值x有0.7的概率属于类别1。

同时，因为二分类问题的可能预测结果只有两个，所以我们可以很容易推导出$y=0$的概率估计：
$P\left ( y = 0|x;\theta \right ) +P\left ( y = 1|x;\theta \right )=1$
$\Longrightarrow P\left ( y = 0|x;\theta \right )=1-P\left ( y = 1|x;\theta \right )$
因此，我们可以把$h_{\theta}(x)=0.5$设为阈值：当$h_{\theta}(x)≥0.5$时，我们就预测$y=1$；当$h_{\theta}(x)＜0.5$时，就预测$y = 0$

再来看一下Sigmod函数，可以发现当且仅当$x≥0$时，$f(x)≥0.5$，因此，当且仅当$\theta ^{T}x≥0$时，$h_{\theta}(x)≥0.5$。
同理，当且仅当$\theta ^{T}x<0$时，$h_{\theta}(x)<0.5$。

3.5 代价函数

作用：用来拟合模型里的参数$\theta$。当$J(\theta)$取得最小值时，所对应的$\theta$即为所求。
形式：
$J(\theta)= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} Cost(h_{\theta } ( x^{(i)} ),y^{(i)} )$
其中：
$Cost\left ( h_{\theta}\left ( x \right ) ,y \right ) =\left\{\begin{aligned} -\ln_{}{\left ( h_{\theta } \left ( x \right ) \right ) } & &{y=1} \\ -\ln_{}{\left ( 1-h_{\theta }\left ( x \right ) \right ) } &&{y=0} \\ \end{aligned}\right .$
$Cost\left ( h_{\theta}\left ( x \right ) ,y \right )$可简化为：
$Cost\left ( h_{\theta}\left ( x \right ) ,y \right ) =-y\ln_{}{\left ( h_{\theta } \left ( x \right ) \right ) } -(1-y)\ln_{}{\left ( 1-h_{\theta }\left ( x \right ) \right ) }$
于是有：
$J(\theta)= -\frac{1}{m}\left [ \sum_{i=1}^{m} y^{(i)} \ln_{}{\left ( h_{\theta } \left ( x^{(i)} \right ) \right ) } +(1-y^{(i)} )\ln_{}{\left ( 1-h_{\theta }\left ( x ^{(i)} \right ) \right ) } \right ]$
求解 $\theta$
$\min_{\theta}J(\theta)$
$repeat\left \{ \theta _{j}:=\theta _{j}-\alpha \sum_{i=1}^{m}\frac{\partial }{\partial \theta _{j}} J(\theta) \right \}$
$\Longrightarrow repeat\left \{ \theta _{j}:=\theta _{j} -\alpha \sum_{i=1}^{m} \left ( h_{\theta} \left ( x^{(i)} \right ) -y^{(i)} \right ) x_{j} ^{(i)} \right \}$

4. 代码实现（python）

4.1 Demo实践

• Step1 模型参数查看

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

x_fearures = np.array([[-1,-2],[-2,-1],[-3,-2],[1,3],[2,1],[3,2]]) 
y_label = np.array([0,0,0,1,1,1])

lr_clf = LogisticRegression()
lr_clf = lr_clf.fit(x_fearures,y_label)

print(r'the weight of Logistic Regression is:',lr_clf.coef_)
print(r'the intercept of Logistic Regression is:',lr_clf.intercept_)

输出：

• Step2 数据和模型可视化

plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1],c=y_label,s=50)
plt.title(r'DataSet')
#plt.show()

nx = 100
ny = 200
x_min,x_max = plt.xlim()
y_min,y_max = plt.ylim()
x_grid,y_grid = np.meshgrid(np.linspace(x_min,x_max,nx),np.linspace(y_min,y_max,ny))
z_proba = lr_clf.predict_proba(np.c_[x_grid.ravel(),y_grid.ravel()])
z_proba = z_proba[:,1].reshape(x_grid.shape)
plt.contour(x_grid,y_grid,z_proba,[0.5])

plt.show()

输出：

• Step3 可视化预测新样本

### 可视化预测新样本

plt.figure()

## new point 1
x_fearures_new1 = np.array([[0, -1]])
plt.scatter(x_fearures_new1[:,0],x_fearures_new1[:,1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 1',xy=(0,-1),xytext=
(-2,0),color='blue',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))

## new point 2
x_fearures_new2 = np.array([[1, 2]])
plt.scatter(x_fearures_new2[:,0],x_fearures_new2[:,1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 2',xy=(1,2),xytext=
(-1.5,2.5),color='red',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))

## 训练样本
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')

# 可视化决策边界
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')
plt.show()

输出结果：

• Step4 模型预测

## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
y_label_new1_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new2)
print('The New point 1 predict class:\n',y_label_new1_predict)
print('The New point 2 predict class:\n',y_label_new2_predict)

## 由于逻辑回归模型是概率预测模型（前文介绍的 p = p(y=1|x,\theta)）,所有我们可以利用predict_proba 函数预测其概率
y_label_new1_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new2)
print('The New point 1 predict Probability of each class:\n',y_label_new1_predict_proba)
print('The New point 2 predict Probability of each class:\n',y_label_new2_predict_proba)

输出结果：

4.2 基于鸢尾花（iris）数据集的逻辑回归分类实践

• Step1 数据简单查看

## 基础函数库
import numpy as np 
import pandas as pd

## 绘图函数库
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

from sklearn.datasets import load_iris
data = load_iris() #得到数据特征
iris_target = data.target #得到数据对应的标签
iris_features = pd.DataFrame(data=data.data, columns=data.feature_names) #利用Pandas转化为DataFrame格式

iris_features.head()
#iris_features.tail()

输出结果:

• Step2 可视化描述

## 合并标签和特征信息
iris_all = iris_features.copy() ##进行浅拷贝，防止对于原始数据的修改
iris_all['target'] = iris_target

## 特征与标签组合的散点可视化
sns.pairplot(data=iris_all,diag_kind='hist', hue= 'target')
plt.show()

输出结果：

• Step3 利用逻辑回归模型进行分类预测

## 为了正确评估模型性能，将数据划分为训练集和测试集，并在训练集上训练模型，在测试集上验证模型性能。
from sklearn.model_selection import train_test_split

## 选择其类别为0和1的样本 （不包括类别为2的样本）
iris_features_part = iris_features.iloc[:100]
iris_target_part = iris_target[:100]

## 测试集大小为20%， 80%/20%分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features_part, iris_target_part, 
test_size = 0.2, random_state = 2020)

## 从sklearn中导入逻辑回归模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

## 定义 逻辑回归模型
clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')

# 在训练集上训练逻辑回归模型
clf.fit(x_train, y_train)

## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
train_predict = clf.predict(x_train)
test_predict = clf.predict(x_test)
from sklearn import metrics

## 利用accuracy（准确度）【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_train,train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_test,test_predict))
            
# 利用热力图对于结果进行可视化
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')
plt.xlabel('Predicted labels')
plt.ylabel('True labels')
plt.show()

输出结果：