多元函数求最值的python 多元函数求最大最小值

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文章目录

• 系列文章目录
• 版权声明
• 名词解释
• 常用数学符号
• 常用希腊字符读音
• 初等数学相关知识

• 幂、根式和对数
• 常用的三角函数值
• 三角函数变换
• 一元二次方程求解
• 充分条件和必要条件
• 切线方程、斜率和法线
• 隐函数
• 极坐标

• 多元函数
• 多元函数的极限
• 多元函数的连续性
• 偏导数
• 全微分
• 多元函数的微分法

• 复合函数微分法
• 隐函数微分法

• 多元函数的极值与最值

• 无约束极值
• 条件极值和拉格朗日乘数法
• 最大值最小值

• 连续、可导、可微之间的关系

版权声明

本文为作者的考研数学笔记，可能这是人生最后一次全面学习数学的机会，所以通过网络的形式留存一份易保存且易回顾的资料。不存在恶意抄袭，本文内容出自以下几个地方：

• 武钟祥老师考研教材
• 武钟祥老师考研视频课
• 科学出版社十二五规划教材高等数学
• 网络
• 个人理解

其中教材内容会以

引用

的形式出现。

名词解释

教材中存在着许多熟悉且陌生的词汇，作者在此进行了整理：

• 概念：概念是人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，是自我认知意识的一种表达，形成概念式思维惯性。
• 定义：定义是对一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明；或是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义。
• 公理：公理是不能也不需要被证明，被大家公认的直接可以使用的道理。
• 定理：定理是可以被证明而且已经通过其他公理和定理证明出来的道理。
• 性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征。

常用数学符号

• $\Rightarrow$：推出
• $\Leftrightarrow$：等价
• $\exists$：存在
• $\forall$：任意
• $\rightarrow$：趋向

常用希腊字符读音

• $\alpha$：/ælfə/
• $\beta$：/betə/
• $\Gamma$、$\gamma$：/gama/
• $\Delta$、$\delta$：/deltə/
• $\varepsilon$：/epsilon/
• $\upsilon$：/apsilon/
• $\theta$：/θitə/
• $\pi$：/paɪ/
• $\eta$：/ita/
• $\Lambda$、$\lambda$：/læmdə/
• $\mu$：/mju/
• $\xi$：/ksi/
• $\Sigma$、$\sigma$：/sigmə/
• $\tau$：/taʊ/
• $\varPhi$、$\varphi$：/faɪ/
• $\psi$：/psi/
• $\Omega$、$\omega$：/omiga/
• $\rho$：/ru:/

初等数学相关知识

作者实在是太菜，因此把忘记的且用到的初等数学知识都整理了一下。

幂、根式和对数

• 幂运算：
  $a^ma^n=a^{m+n}\\ a^m\div a^n=a^{m-n}\\ (a^m)^n=a^{mn}\\ (ab)^m=a^mb^m\\ (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}\\ a^{m+n}=a^ma^n\\ a^{-m}=\frac{1}{a^m}(m\in N^+,a\ne0)\\ a^{\frac{1}{m}}=\sqrt[m]{a}(当m为偶数时a\ge 0;m为奇数时a\in R)$
• 根式运算：
  $\sqrt{a}^2=a\\ \sqrt{a^2}=|a|\\ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\\ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$
• 对数运算：

$alog_aN=N\\ log_aMN=log_aM+log_aN\\ log_aN^n=nlog_aN\\ log_{a^m}N=\frac{1}{m}log_aN\\ log_aN=\frac{log_cN}{log_ca}$

常用的三角函数值

函数/角度	0	30	45	60	90
sin	0				1
cos	1				0
tan	0		1		-

三角函数变换

• 三角函数关系式：
  $tanacota=1\\ sinacsca=1\\ cosaseca=1\\ tana=\frac{sina}{cosa}\\ cota=\frac{cosa}{sina}\\ sin^2a+cos^2a=1\\ 1+tan^2a=sec^2a\\ 1+cot^2a=csc^2a$
• 诱导公式：

角\函数	$tanacota=1\\ sinacsca=1\\ cosaseca=1\\ tana=\frac{sina}{cosa}\\ cota=\frac{cosa}{sina}\\ sin^2a+cos^2a=1\\ 1+tan^2a=sec^2a\\ 1+cot^2a=csc^2a$	$tanacota=1\\ sinacsca=1\\ cosaseca=1\\ tana=\frac{sina}{cosa}\\ cota=\frac{cosa}{sina}\\ sin^2a+cos^2a=1\\ 1+tan^2a=sec^2a\\ 1+cot^2a=csc^2a$	$tanacota=1\\ sinacsca=1\\ cosaseca=1\\ tana=\frac{sina}{cosa}\\ cota=\frac{cosa}{sina}\\ sin^2a+cos^2a=1\\ 1+tan^2a=sec^2a\\ 1+cot^2a=csc^2a$	$tanacota=1\\ sinacsca=1\\ cosaseca=1\\ tana=\frac{sina}{cosa}\\ cota=\frac{cosa}{sina}\\ sin^2a+cos^2a=1\\ 1+tan^2a=sec^2a\\ 1+cot^2a=csc^2a$
$tanacota=1\\ sinacsca=1\\ cosaseca=1\\ tana=\frac{sina}{cosa}\\ cota=\frac{cosa}{sina}\\ sin^2a+cos^2a=1\\ 1+tan^2a=sec^2a\\ 1+cot^2a=csc^2a$	$tanacota=1\\ sinacsca=1\\ cosaseca=1\\ tana=\frac{sina}{cosa}\\ cota=\frac{cosa}{sina}\\ sin^2a+cos^2a=1\\ 1+tan^2a=sec^2a\\ 1+cot^2a=csc^2a$
			$sin(a\pm b)=sinacosb\pm cosasinb\\ cos(a+b)=cosacosb\mp sinasinb\\ tan(a\pm b)=\frac{tana\pm tanb}{1\mp tanatanb}\\ cot(a\pm b)=\frac{cotacotb\mp 1}{cotb\pm cota}$	$sin(a\pm b)=sinacosb\pm cosasinb\\ cos(a+b)=cosacosb\mp sinasinb\\ tan(a\pm b)=\frac{tana\pm tanb}{1\mp tanatanb}\\ cot(a\pm b)=\frac{cotacotb\mp 1}{cotb\pm cota}$

• 和差角公式：
  $sin(a\pm b)=sinacosb\pm cosasinb\\ cos(a+b)=cosacosb\mp sinasinb\\ tan(a\pm b)=\frac{tana\pm tanb}{1\mp tanatanb}\\ cot(a\pm b)=\frac{cotacotb\mp 1}{cotb\pm cota}$
• 和差化积公式：
  $sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}\\ sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}\\ cosa+cosb=2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}\\ cosa-cosb=-2sin\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}$
• 积化和差公式：
  $sinasinb=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b)]\\cosacosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]\\sinacosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)]\\cosasinb=\frac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b)]$
• 倍角公式：
  $sin2a=2sinacosa\\ sin3a=3sina-4sin^3a\\ cos2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a=cos^2a-sin^2a\\ cos3a=4cos^3a-3cosa\\ cot2a=\frac{cot^2a-1}{2cota}\\ tan2a=\frac{2tana}{1-tan^2a}$
• 半角公式：
  $sin\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosa}{2}}\\ cos\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cosa}{2}}\\ tan\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosa}{1+cosa}}=\frac{1-cosa}{sina}=\frac{sina}{1+cosa}\\ cot\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cosa}{1-cosa}}=\frac{1+cosa}{sina}=\frac{sina}{1-cosa}$
• 万能公式：
  $sina=\frac{2tan\frac{a}{2}}{1+tan^2\frac{a}{2}}\\ cosa=\frac{1-tan^2\frac{a}{2}}{1+tan^2\frac{a}{2}}\\ tana=\frac{2tan\frac{a}{2}}{1-tan^2\frac{a}{2}}$
• 其它公式：
  $asina+bcosa=\sqrt{a^2+b^2}sin(a+c),其中tanc=\frac{b}{a}\\ asina-bcosa=\sqrt{a^2+b^2}cos(a-c),其中tanc=\frac{a}{b}\\ 1+sina=(sin\frac{a}{2}+cos\frac{a}{2})^2\\ 1-sina=(sin\frac{a}{2}-cos\frac{a}{2})^2$

一元二次方程求解

充分条件和必要条件

• 充分条件：由前一个条件推出后一个条件。
• 必要条件：由后一个条件推出前一个条件。
• 充要条件：前一个条件能推出后一个条件，后一个条件也能推出前一个条件。

切线方程、斜率和法线

• 切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。
• 斜率：表示直线关于坐标轴倾斜程度的量。通常用直线与横坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。
• 法线：法线就是垂直于切线的线。
• 函数在某一点的切线斜率乘法线斜率等于负一。
• 已知直线方程求斜率：$ax+by+c=0\Rightarrow k=-\frac{a}{b}$
• 已知斜率和一点求直线：$y-y_0＝k(x-x_0)$

隐函数

如果方程$F(x,y)=0$能确定$y$是$x$的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量$x、y$，对于某一范围内的$x$的每一个值，$y$都有确定的值和它对应，$y$就是$x$的函数。这种关系一般用$y=f(x)$即显函数来表示。$F(x,y)=0$即隐函数是相对于显函数来说的。

极坐标

• 极坐标：极坐标是指在平面内取一个定点$O$，叫极点，引一条射线$Ox$，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点$M$，用$ρ$表示线段$OM$的长度，$θ$表示从$Ox$到$OM$的角度，$ρ$叫做点$M$的极径，$θ$叫做点$M$的极角，有序数对 $(ρ,θ)$就叫点$M$的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
• 参数方程：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x、y$都是某个变数$t$的函数，并且对于$t$的每一个允许的取值，由方程组确定的点$(x, y)$都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数$x、y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程即称为普通方程。
• 极坐标和直角坐标的相互转换：

多元函数

定义：设$D$是平面上的一个点集，若对每个点$P(x,y)∈D$，变量$z$按照某一对应法则$f$有一个确定的值与之对应，则称$z$为$x,y$的二元函数，记为$z=f(x,y)$其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量，函数$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记为$f(D)$。通常情况下，二元函数在几何上表示一张空间曲面。

多元函数的极限

定义：设函数$f(x,y)$在区域$D$上有定义，点$P_0(x_0,y_0)∈D$或为$D$的边界点，如果$\forall\varepsilon>0$，$\exists\delta>0$，当$P(x,y)∈D$，且$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$时，都有$|f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称常数$A$为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to(x_0,y_0)$时的极限，记为$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A或\lim\limits_{x\to x_0 y\to y_0}f(x,y)=A或\lim\limits_{P\to P_0}f(P)=A$一元函数的以下性质对多元函数仍然适用：

• 局部有界性
• 保号性
• 有理运算
• 极限与无穷小的关系
• 夹逼原理

多元函数极限存在是指$P(x,y)$以任何方式趋近于$P_0(x_0,y_0)$时，$f(x,y)$都无限接近于$A$。因此，如果$P(x,y)$以特定方式趋近于$P_0(x_0,y_0)$时，$f(x,y)$都无限接近于$A$或$P(x,y)$以任何方式趋近于$P_0(x_0,y_0)$时，$f(x,y)$都无限接近于不同的值，那么该函数的极限都不存在。

多元函数的连续性

定义：设函数$f(x,y)$在区域$D$上有定义，点$P_0(x_0,y_0)∈D$，如果$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$成立，则称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续，如果$f(x,y)$在区域$D$上的每个点$(x,y)$处都连续，则称函数$f(x,y)$在区域$D$上连续。
性质：

• 性质一：多元函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
• 性质二：多元连续函数的复合函数也是连续函数。
• 性质三：多元初等函数在其定义区域内连续。
• 性质四（最大最小值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得最大值和最小值。
• 性质五（介值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得介于最大值和最小值之间的任何值。

偏导数

偏导数定义：设$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，如果$\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$存在，则称这个极限值为函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记为$\frac{\partial z}{\partial x}|_{x=x_0 y=x_0}或\frac{\partial f}{\partial x}|_{x=x_0 y=x_0}或f'_x(x_0,y_0)$类似的，如果$\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$存在，则称这个极限值为函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处对$y$的偏导数，记为$\frac{\partial z}{\partial y}|_{x=x_0 y=x_0}或\frac{\partial f}{\partial y}|_{x=x_0 y=x_0}或f'_y(x_0,y_0)$
高阶偏导数定义：如果$f(x,y)$在区域$D$内的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$仍然存在偏导数，则称之为函数$f(x,y)$的二阶偏导数，常记为$\frac{\partial}{\partial x}({\frac{\partial z}{\partial x})}=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}或f''_{xx}，\frac{\partial}{\partial y}{(\frac{\partial z}{\partial x})}=\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}或f''_{xy}\\\\\frac{\partial}{\partial x}{(\frac{\partial z}{\partial y})}=\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}或f''_{yx}，\frac{\partial}{\partial y}{(\frac{\partial z}{\partial y})}=\frac{\partial^2z}{ \partial y^2}或f''_{yy}$常称$\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}$为混合偏导数。

定理：如果函数$f(x,y)$的两个二阶混合偏导数$\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}$在区域$D$内连续，则在该区域内这两个混合偏导数一定相等。

全微分

定义：如果函数$z=f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的全增量$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$可表示为$\delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$其中$A,B$与$\Delta x,\Delta y$无关，$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，而$A\Delta x+B\Delta y$称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分，记为$dz=A\Delta x+B\Delta y$如果$f(x,y)$在区域$D$内的每一点$(x,y)$都可微分，则称$f(x,y)$在$D$内可微。
定理（全微分存在的必要条件）：如果函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处可微，则该函数在点$(x,y)$处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

定理（全微分存在的充分条件）：如果函数$f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$在点$(x_0,y_0)$ 处连续，则函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$

用定义判断函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的可微性分为以下两步：

• $f'_x(x_0,y_0)$和$f'_y(x_0,y_0)$是否存在
• $\lim\limits_{\Delta x\to 0 \Delta y \to 0}\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$是否等于零

多元函数的微分法

复合函数微分法

定义：设函数$u=u(x,y),v=v(x,y)$在点$(x,y)$处有对$x$及对$y$的偏导数，函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$处有连续偏导数，则复合函数$z=f[u(x,y),v(x,y)]$在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$
全微分形式的不变性：设函数$z=f(u,v),u=u(x,y)$，及$v=v(x,y)$都有连续的一阶偏导数，则复合函数$z=f[u(x,y),v(x,y)]$的全微分$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy+\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$即不论把函数$z$看做自变量$x,y$的函数，还是看作中间变量$u,v$的函数，函数$z$的全微分形式都是一样的。

隐函数微分法

由方程$F(x,y)=0$确定的隐函数$y=y(x)$：若函数$F(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有连续偏导数，且$F(x_0,y_0)=0,F'_y(x_0,y_0)≠0$，则方程$F(x,y)=0$在点$(x_0,y_0)$的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数$y=f(x)$，并有$y'=-\frac{F'_x}{F'_y}$
由方程$F(x,y,z)=0$确定的隐函数$z=z(x,y)$：若函数$F(x,y,z)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内有连续偏导数，且$F(x_0,y_0,z_0)=0,F'_y(x_0,y_0,z_0)≠0$，则方程$F(x,y,z)=0$在点$(x_0,y_0,z_0)$的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数$z=f(x,y)$，并有$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z}$

多元函数的极值与最值

无约束极值

定义：设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点$P(x,y)$均有$f(x,y)≤f(x_0,y_0)$，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的极大值点，称$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的极大值。极大值和极小值点统称为极值点，极大值极小值统称为极值。
定理（极值的必要条件）：设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$存在偏导数，且$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的极值点，则$f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0$
定理（极值的充分条件）：设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域内有二阶连续偏导数，且$f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0$，记$A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)$则有以下结论：

• 若$AC-B^2>0$，则$(x_0,y_))$为$f(x,y)$的极值点。

• 若$A<0$，则$(x_),y_))$为$f(x,y)$的极大值点；
• 若$A>0$，则$(x_),y_))$为$f(x,y)$的极小值点。

• 若$AC-B^2<0$，则$(x_0,y_))$不为$f(x,y)$的极值点。
• 若$AC-B^2=0$，则$(x_0,y_))$可能为$f(x,y)$的极值点，也可能不为$f(x,y)$的极值点（此时一般用定义判断）。

求具有二阶连续偏导数的二元函数$z=f(x,y)$极值的一般步骤为：

• 求出$f(x,y)$的驻点$P_1...P_k$。
• 利用极值的充分条件判定驻点$P_i$是否是极值点。

条件极值和拉格朗日乘数法

求$z=f(x,y)$在条件$\varphi(x,y)=0$下的条件极值的一般方法为：

• 构造拉格朗日函数$F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)$
• 将$F(x,y,\lambda)$分别对$x,y,\lambda$求偏导数，构造方程组$\begin{cases}f'_x(x,y)+\lambda\varphi'_x(x,y)=0\\f'_y(x,y)+\lambda\varphi'_y(x,y)=0\\\varphi(x,y)=0\end{cases}$

解出$x,y,\lambda$，则其中$(x,y)$就是函数$f(x,y)$在条件$\varphi(x,y)=0$下的可能极值点。

最大值最小值

求连续函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上的最大值：

• 第一步：求$f(x,y)$在点$D$内部可能的极值点。
• 第二步：求$f(x,y)$在点$D$的边界上的最大最小值。
• 第三步：比较。

连续、可导、可微之间的关系

• 连续不一定可导，可导不一定连续；
• 连续不一定可微，可微一定连续；
• 可导不一定可微，可微一定可导；
• 一阶偏导数连续一定可微、可微一阶偏导数不一定连续；