共轭梯度法Conjugate Gradient是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。

在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。

其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

算法介绍/共轭梯度法 编辑又称共轭斜量法，是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法，例如对线性代数方程组 Ax=?， 1式中A为n阶矩阵，x和?为n维列向量，当A对称正定时，可以证明求1的解X*和求二次泛函共轭梯度法图册的极小值问题是等价的。

此处x，у表示向量x和у的内积。

由此，给定了初始向量x(0)，按某一方向去求2式取极小值的点x(1)，就得到下一个迭代值x(2)，再由x(2)出发，求x(3)等等，这样来逼近x*。

若取求极小值的方向为F在 x(k=1,2，…)处的负梯度方向就是所谓最速下降法，然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢，共轭梯度法则是在 x(k-1)处的梯度方向r(k-1)和这一步的修正方向p(k-1)所构成的二维平面内，寻找使F减小最快的方向作为下一步的修正方向p(k)，即求极小值的方向p其第一步仍取负梯度方向。

计算公式为公式图册再逐次计算k=1,2，…。

可以证明当i≠j时，公式图册从而平p(1),p(2)形成一共轭向量组；r(0),r(1)，…形成一正交向量组。

后者说明若没有舍入误差的话，至多 n次迭代就可得到1的精确解。

然而在实际计算中，一般都有舍入误差，所以r(0),r(1)，…并不真正互相正交，而尣0尣1，…等也只是逐步逼近1的真解，故一般将共轭梯度法作为迭代法来使用。

近来在解方程组1时，常将共轭梯度法同其他一些迭代法结合作用。

特别是对病态方程组这种方法往往能收到比较显着的效果。

其方法是选取一对称正定矩阵B并进行三角分解，得B=LLT。

将方程组1化为 hу=b, (3)此处y=lTx,b=l-1?，h=l-1Al-T，而公式图册再对3用共轭梯度法，计算公式为公式图册k=0,1,2，…适当选取B，当B很接近A时，h的条件数较之A大大减小，从而可使共轭梯度法的收敛速度大为加快，由一些迭代法的矩阵分裂A=M -N，可选取M 为这里的B，例如对称超松弛迭代SSOR，强隐式迭代SIP等，这类方法常称为广义共轭梯度法或预条件共轭梯度法，它也可用于解代数特征值问题。