Abstract：

本文主要介绍稀疏模型相关，侧重于字典学习和具体应用。

1.sparse background

2.DL（DIctionary Learning）是什么，用途，为什么好

3.我的DC（Customization）工作

 

I.稀疏模型

最近几年比较hot的技术，在信号处理（压缩感知）、计算机视觉（比如JPEG压缩）领域影响比较大，在机器学习框架则可以看做是一种特征处理相关的模型。

超完备字典D  D（超完备是说字典行数小于列数）中用尽可能少的原子来表示信号x  x，即：



min α ∥α∥ 0 ,s.t.x=Dα. 


考虑噪声就是



min α ∥x−Dα∥ 2 2 +λ∥α∥ 0 , 


α 的size比x 大很多，但是非零元素比x 的size小很多很多。

非线性模型，所以表达能力更强。具体来说，每个信号稀疏系数的非零元素位置不同（所谓的support），所以每个信号可以看做被投影到了不同的线性子空间，这是和正交字典-PCA之类的最大区别。而为什么在视觉图像里应用尤其多，也正是因为每张图像（如人脸）可以看做处于高维空间的一个低维子空间上（其实还有些研究用流形做子空间建模的）。

系数求解（即上面那个问题，经典算法有OMP贪心、lasso凸松弛和l 1/2  非凸松弛），字典学习（获得更好的D ，经典算法有MOD和K-SVD交替迭代）和模型应用。

　　

II.字典学习

针对特定数据集学习出特定的字典。这种学出来的字典能大大提升在特定数据集的效果。

X={x i ∥ n i=1  ，我们要所有样本在字典D 上有稀疏表达W={w i } n i=1  ，所以优化目标是



min D,W ∥X−DW∥ 2 F ,s.t.∥w i ∥ 0 ≤s. 

 

交替迭代思想来解，即分别固定D和W，更新另一个，很多变种算法。目标函数分析起来比较难，所以这方面理论还比较弱，Agarwal,Gribonval等一帮人在搞。

　　应用方面往往稀疏表达和字典学习是混杂的，这里主要介绍下图像去噪、超分辨率和人脸识别，这三个例子效果都很好，貌似已经拿到工业界用了。

图像去噪（Elad）

　　　　对一个noisy image，把一个patch看做一个sample或signal，比如可以是一个8乘8的patch，拉成一列64维的向量，一个image可以从左上角到右下角窗口1滑动采样得到很多这样的patch。

　　　　（1）拿这些patches作为训练样本，用如K-SVD之类的算法可以学得字典D。(也可以用DCT等做字典)

用D对patch进行稀疏表达，拿稀疏系数再根据字典D重建patch，丢失掉的那部分信息主要就是噪声信息，这样就起到了去噪的作用（这是利用噪声的性质，去噪后整个图片会变得光滑）。

超分辨率（MaYi）

x h  和对应的低分辨率图像的patches x l  ，在相应的字典D h  和D l  上有相同的系数。这样的话，就可以把低分辨率图像先根据D l  得到稀疏系数，再根据D h  重建patches。

D l  和D h  ，即对于大量训练样本 patch-pairs  (X l ,X h ) , 优化目标函数：



　min D h ,D l ,W ∥X h −D h W∥ 2 F +∥X l −D l W∥ 2 F ,s.t.∥w i ∥ 0 ≤s.　 


X l  ，特征用Bicubic和高通滤波做了拓展。

D l  ，而D h  通过下式得到



D h =X h W T (WW T ) −1 . 


人脸识别（Jiang）

y ，投影方法一般是用一个随机产生的mean为0的高斯分布（参考随机投影保距降维相关资料）。

这里介绍Jiang Zuolin的工作，他把字典D 和线性分类器W 一同学习得到，具体损失函数是



　　min D,W,A,X ∥Y−DX∥ 2 F +α∥Q−AX∥ 2 F +β∥H−WX∥ 2 F ,　s.t.∀i,∥x i ∥ 0 ≤T　　 


这里(Y,H) 是训练样本（feature，label），Q那一项是一个label consistent项，用来加大字典原子的类别区分度的，构建方法不赘述了。

这个问题可以化为一个标准的字典学习问题，然后用一般字典学习方法求解。　　



　min D,W,A,X 　　∥⎛ ⎝ ⎜ 　　Y　　α  √ Q　　β  √ H　　 ⎞ ⎠ ⎟ 　　−　　⎛ ⎝ ⎜ 　　D　　α  √ A　　β  √ W　　 ⎞ ⎠ ⎟ 　　X∥ 2 F 　　s.t.∀i,∥x i ∥ 0 ≤T　　 


这样的话，每新来一个样本，就先随机投影得到特征向量，然后用D 得到稀疏系数，再用W对稀疏预测得出label。

此外，还有种方法是每个人对应一个字典，新来一张图，算和哪个字典构建误差最小来预测。

顺便比较下和deep learning，第一，潜力不如deep learning（吐槽下大量搞稀疏的人跑去搞deep learning了），第二，某种程度，deep learning也是稀疏思想，第三，dictionary learning相比优点就是没有那么多蛋疼的调参和tricks，简单有效代价低。

 

III.我的字典个性化工作

首先来说字典学习的思想，本质上，字典学习是学得一个更specialized的字典，这样的话对于特定的数据集就更加有效了。但是还是有几个问题，第一，学习的效果需要充足的样本来guarantee，第二，学习的代价是时间和计算，这就导致了很多时候不够specialized。比如往往只是specialize到了人类，而没有specialize到某个人。

所以我做的工作主要是得到更specialized的字典，也即字典个性化。鉴于还在审稿，具体方法不描述了。