定义
直接或间接地调用自身的算法称为
递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
【例2.1】设计求n!（n为正整数）的递归算法。
可递归地定义为：
n!=1 n=1 (1)
n!=n*fun(n-1) n>1 (2)
其中：
n=1 时，n!=1为边界条件
n>1 时，n!=n(n-1)!为递归方程
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。
一般来说，能够用递归解决的问题应该满足以下二个条件：
1.需要解决的问题可以转化为一个或多个子问题来求解，而这些子问题的求解方法与原问题完全相同，只是在数量规模上不同。
2.必须有结束递归的条件来终止递归。
递归算法设计
算法设计如下：
void digits(int n)
{ if (n!=0)
{
digits(n/10);
cout<<n%10<<“ “;
}
}
全排列：
【例2.4】排列问题
设计一个递归算法生成n个元素{a1,a2,…,an}的全排列。
存放于数组 A 的 n 个元素，生成其排列的步骤：
1）第一个元素不动，生成后面 n–1 个元素的排列
2）第一、第二个元素互换，生成后面 n–1 个元素的排列
3）最后，第一个、第n个元素互换，生成后面n–1个元素的排列；
为生成后面 n–1 个元素的排列，继续采取下面的步骤：
1）第二个元素不动，生成后面 n–2 个元素的排列
2）第二、第三个元素互换，生成后面 n–2 个元素的排列
3）最后，第二个、第 n 个元素互换，生成后面 n–2 个元
素的排列；
当排列的前 n–2 个元素确定后，为生成后面2个元素的排列，
可以：
1）第 n–1 个元素不动，生成后面 1 个元素的排列， 此时n个元素已构成一个排列；
2）第n-1、第n个元素互换，生成后面1个元素的排列，此时，n个元素已构成一个排列；
令排列算法perm(A,k,n)表示生成数组后面k个元素的排列。有：
1）基础步：k=1，只有一个元素，已构成一个排列；
2）归纳步：对任意的k，1<k≤n，为完成 perm(A,k,n)，
逐一对第n–k与第n–k∽n 元素进行互换，每互换一次，就执行一次 perm(A,k -1,n) 操作，产生一个排列。
void perm(Type A[ ], int k, int n)
{ int i;
if (k==1)
for (i=0;i<n;i++) // 已构成一个排列,输出它
cout << A[ i ];
else {
for (i=n-k;i<n;i++) { // 生成后续的一系列排列
swap(A[ i ],A[ n-k ]);
perm(A,k-1,n)
swap(A[ i ],A[ n-k ]);
}
}
}
显然它们不同列，若同列则有：q[k]==j；
对角线有两条，若它们在任一条对角线上，则构成一个等边直角三角形，即|q[k]-j|==|i-k|。
(q[k]==j) || (abs(q[k]-j)==abs(i-k))
bool place(int i,int j) //测试(i,j)位置能否摆放皇后
{ if (i==1) return true; //第一个皇后总是可以放置
int k=1;
while (k<i) //k=1～i-1是已放置了皇后的行
{ if ((q[k]==j) || (abs(q[k]-j)==abs(i-k)))
return false;
k++;
}
return true;
}
void queen(int i,int n) //放置1～i的皇后
{ if (i>n)
dispasolution(n); //所有皇后放置结束
else
{ for (int j=1;j<=n;j++) //在第i行上试探每一个列j
if (place(i,j)) //在第i行上找到一个合适位置(i,j)
{ q[i]=j;
queen(i+1,n);
}
}
}递归小结
优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
递归算法转化非递归算法
把递归算法转化为非递归算法有如下两种基本方法：
（1）用递推来实现递归函数。
（2）用栈模拟系统的运行过程，通过分析只保存必须保存的信息，从而用非递归算法替代递归算法。
二、 用栈消除递归过程
采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
通常使用栈保存中间结果，从而将递归算法转化为非递归算法的过程。
通过Cooper变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。
递推式的计算
递归算法的执行时间可以用形式（即递推式）来表示，递推式也称为递归方程。求递归方程常用的方法有：
1）递推
2）生成函数
3）特征方程
递推
生成函数
特征方程
现在还没有一种寻找特解的有效方法。一般是根据g(n)的形式来确定特解。
假设g(n)是n的m次多项式，即g(n)=c0nm+…+cm-1n+cm
则特解f”(n)=A0nm+A1nm-1+…+Am-1n+Am。
代入原递归方程求出A0、A1、…、Am。
再代入初始条件（f(i)=bi，0≤i<k）求出系数得到最终通解
递归树
用递归树求解递归方程的基本过程是：
（1）展开递归方程，构造对应的递归树。
（2）把每一层的时间进行求和，从而得到算法时间复杂度的估计。
显然在递归树中，第1层的问题规模为n，第2的层的问题规模为n/2，依此类推，当展开到第k+1层，其规模为n/2k=1，所以递归树的高度为log2n+1。
第1层有1个结点，其时间为n2，第2层有2个结点，其时间为2(n/2)2=n2/2，依次类推，第k层有2k个结点，其时间为2(n/2k)2=n2/2k-1。
叶子结点的个数为n个，其时间为n。将递归树每一层的时间加起来，可得：
T(n)=n2+n2/2+ … +n2/2k-1+ … +n=O(n2)。
