基于EMD信号分解和深度学习的 时间序列预测存在问题 emdr技术的八个阶段

1. Jensen不等式

      回顾优化理论中的一些概念。设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x，

，那么f是凸函数。当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（

），那么f是凸函数。如果

或者

，那么称f是严格凸函数。

      Jensen不等式表述如下：

      如果f是凸函数，X是随机变量，那么

      

      特别地，如果f是严格凸函数，那么

当且仅当

，也就是说X是常量。

      这里我们将

简写为

。

      如果用图表示会很清晰：

      

      图中，实线f是凸函数，X是随机变量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。（就像掷硬币一样）。X的期望值就是a和b的中值了，图中可以看到

成立。

      当f是（严格）凹函数当且仅当-f是（严格）凸函数。

      Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向，也就是

。

2. EM算法

      给定的训练样本是

，样例间独立，我们想找到每个样例隐含的类别z，能使得p(x,z)最大。p(x,z)的最大似然估计如下：

      

      第一步是对极大似然取对数，第二步是对每个样例的每个可能类别z求联合分布概率和。但是直接求一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。

      EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。竟然不能直接最大化，我们可以不断地建立的下界（E步），然后优化下界（M步）。这句话比较抽象，看下面的。

      对于每一个样例i，让表示该样例隐含变量z的某种分布，满足的条件是

。（如果z是连续性的，那么是概率密度函数，需要将求和符号换做积分符号）。比如要将班上学生聚类，假设隐藏变量z是身高，那么就是连续的高斯分布。如果按照隐藏变量是男女，那么就是伯努利分布了。

可以由前面阐述的内容得到下面的公式：

      

      （1）到（2）比较直接，就是分子分母同乘以一个相等的函数。（2）到（3）利用了Jensen不等式，考虑到

是凹函数（二阶导数小于0），而且

      

      就是

的期望（回想期望公式中的Lazy Statistician规则）

设Y是随机变量X的函数 （g是连续函数），那么       （1） X是离散型随机变量，它的分布律为 ，k=1,2,…。若 绝对收敛，则有              （2） X是连续型随机变量，它的概率密度为，若 绝对收敛，则有

      对应于上述问题，Y是

，X是，

是，g是到

的映射。这样解释了式子（2）中的期望，再根据凹函数时的Jensen不等式：

      

可以得到（3）。

      这个过程可以看作是对求了下界。对于的选择，有多种可能，那种更好的？假设已经给定，那么的值就决定于

和

了。我们可以通过调整这两个概率使下界不断上升，以逼近的真实值，那么什么时候算是调整好了呢？当不等式变成等式时，说明我们调整后的概率能够等价于了。按照这个思路，我们要找到等式成立的条件。根据Jensen不等式，要想让等式成立，需要让随机变量变成常数值，这里得到：

      

      c为常数，不依赖于。对此式子做进一步推导，我们知道

，那么也就有

，（多个等式分子分母相加不变，这个认为每个样例的两个概率比值都是c），那么有下式：

      

      至此，我们推出了在固定其他参数后，

的计算公式就是后验概率，解决了

如何选择的问题。这一步就是E步，建立的下界。接下来的M步，就是在给定

后，调整，去极大化的下界（在固定

后，下界还可以调整的更大）。那么一般的EM算法的步骤如下：

循环重复直到收敛 {       （E步）对于每一个i，计算                          （M步）计算

      那么究竟怎么确保EM收敛？假定和

是EM第t次和t+1次迭代后的结果。如果我们证明了

，也就是说极大似然估计单调增加，那么最终我们会到达最大似然估计的最大值。下面来证明，选定后，我们得到E步

      

      这一步保证了在给定时，Jensen不等式中的等式成立，也就是

      

      然后进行M步，固定

，并将视作变量，对上面的

求导后，得到

，这样经过一些推导会有以下式子成立：

      

      解释第（4）步，得到

时，只是最大化

，也就是

的下界，而没有使等式成立，等式成立只有是在固定，并按E步得到时才能成立。

      况且根据我们前面得到的下式，对于所有的和都成立

      

      第（5）步利用了M步的定义，M步就是将调整到

，使得下界最大化。因此（5）成立，（6）是之前的等式结果。

      这样就证明了会单调增加。一种收敛方法是不再变化，还有一种就是变化幅度很小。

      再次解释一下（4）、（5）、（6）。首先（4）对所有的参数都满足，而其等式成立条件只是在固定，并调整好Q时成立，而第（4）步只是固定Q，调整，不能保证等式一定成立。（4）到（5）就是M步的定义，（5）到（6）是前面E步所保证等式成立条件。也就是说E步会将下界拉到与一个特定值（这里）一样的高度，而此时发现下界仍然可以上升，因此经过M步后，下界又被拉升，但达不到与另外一个特定值一样的高度，之后E步又将下界拉到与这个特定值一样的高度，重复下去，直到最大值。

      如果我们定义

      

      从前面的推导中我们知道

，EM可以看作是J的坐标上升法，E步固定，优化，M步固定优化。