1. 从矩阵变换的角度
首先半正定矩阵定义为:
其中X 是向量，M 是变换矩阵
我们换一个思路看这个问题，矩阵变换中，
代表对向量 X进行变换，我们假设变换后的向量为Y，记做
于是半正定矩阵可以写成：
这个是不是很熟悉呢？ 他是两个向量的内积。 同时我们也有公式：
||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度，
是他们之间的夹角。 于是半正定矩阵意味着
这下明白了么？
2. 从几何图形的角度
正定矩阵是一个椭球。也就是说
的正定矩阵
对应于n维空间中以原点为圆心的椭球
,
其中：
- 椭球的轴向：特征向量
- 椭球的轴长：特征值
下图是n=2的情况:
这样理解的好处很多，例如两个正定矩阵
等价于
,也就是说，“两个正定矩阵的差也正定”等价于“A对应的椭球被B对应的椭球包含”，n=2时，图像如下：
3. 判定方法
正定性的判定方法有很多重，其中最方便也是常用的一种为：
若所有特征值均不小于零，则称为半正定。
若所有特征值均大于零，则称为正定。
当然，通过主元变换或直接求出行列式的值也是方法之一，但由于缺乏充分性，即行列式小于零一定非正定，但大于零则不一定正定，因为偶数次的负元素相乘依旧得正，因此用所有主元（对角线）上的元素来判断的方法更为完备。
4. 黑塞矩阵的正定性
Hessian矩阵的正定性在判断优化算法可行性时非常有用，简单地说，黑塞矩阵正定，则
1. 函数的二阶偏导数恒 > 0
2. 函数的变化率（斜率）即一阶导数始终处于递增状态
3. 函数为凸
因此，在诸如牛顿法等梯度方法中，使用黑塞矩阵的正定性可以非常便捷的判断函数是否有凸性，也就是是否可收敛到局部/全局的最优解
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