离散时间的频谱是周期函数，由此得出结论：时域的采样等效于频域的周期延拓。
zero-order hold：tn−1,tn之间的信号值保持不变，取为f(tn−1)。
first-order hold：tn−1,tn之间的信号值为线性，由端点值f(tn−1),f(tn)确定。
离散信号与系统
正弦信号
x(n)=Acos(ωn+θ)=Acos(2πfn+θ)
性质：
- 是周期信号当且仅当f是有理数。表示为f=kN，若k,N互素，则N是最小正周期。因此，和连续信号不同，离散信号的频率的微小变化可引起周期的大变化。如：
f1=31/60N1=60f2=30/60N2=2
- 频率相差2π整数倍的是相同信号，即：
Acos(ωn+θ)=Acos((w+2kπ)n+θ)
因此可以将频率限制为−π≤ω≤π。而连续信号−∞<Ω<∞. - ω=π时信号振荡频率是最高的。
复指数信号集：N是如下每个信号的周期。令ω=2πN
ϕk[n]=ejkωn,k=0,±1,±2,…
这个集合只有N个元素，因为kω与(k+rN)ω相差2π的整数倍，由以上性质2它们是相同信号。
周期信号的傅里叶级数表示
令x[n]的最小正周期为N，ω=2πN。
想用复指数信号集来表示x[n]，即：
x[n]=∑kakϕk[n]
由于ϕk[n]只在N个连续的k中是不同的，因此求和只需包含N个连续的k，用k=⟨N⟩表示：
x[n]=∑k=⟨N⟩akϕk[n]
由如下关系：
否则∑n=⟨N⟩ejkωn={N,k=0,±N,±2N,…0,否则
可得：
ak=1N∑n=⟨N⟩x[n]e−jkωn
离散傅里叶变换(DFT)
DFT和上面本质上是一样的，这里从另一个角度来讲。
N维向量的内积：
⟨u,v⟩≜∑n=0N−1u(n)v∗(n)
y在x上的投影：
Px(y)=⟨y,x⟩‖x‖2x
x前的系数称为投影系数。
{ϕk},k=0,…,N−1是CN的一组正交基，即
⟨ϕk,ϕl⟩≜∑n=0N−1ϕk[n]ϕl∗[n]=Nδkl
Xk≜⟨x,ϕk⟩=∑n=0N−1x[n]e−jkωn
x=∑kPϕk(x)=∑k⟨x,ϕk⟩‖ϕk‖2ϕk=1N∑k=0N−1Xkϕk
离散时间傅里叶变换（DTFT）
令周期N趋向无穷大，推导出离散时间傅里叶变换：
x[n]=12π∫2πX(ejω)ejωndωX(ejω)=∑n=−∞+∞x[n]e−jωn
其中积分在任意长度为2π的区间进行。
X(ejω)称为x[n]的频谱，易见它的周期是2π。
周期信号
ejω0n⟷∑l=−∞+∞2πδ(ω−ω0−2πl)
周期为N的信号：
x[n]=∑k=⟨N⟩akejk(2π/N)n
的傅里叶变换为：
X(ejω)=∑k=−∞+∞2πakδ(ω−2πkN)
这里用到了ak的周期为N的性质。
z变换
定义：
X(z)≜∑n=−∞+∞x[n]z−n
z=rejω，那么
X(rejω)=∑n=−∞+∞x[n](rejω)−n=∑n=−∞+∞{x[n]r−n}e−jωn=F{x[n]r−n}
即x[n]的z变换是x[n]r−n的DTFT。
使得X(z)收敛的z值范围称为收敛域（ROC）。由于
|X(z)|=|∑n=−∞+∞x[n]r−ne−jωn|≤∑n=−∞+∞|x[n]r−ne−jωn|=∑n=−∞+∞|x[n]r−n|
因此如果序列x[n]r−n绝对可和，那么X(z)<∞。但反过来并不成立，例如x[n]=(−1)n/n。有时收敛域是用这个条件确定的。
注意，只能通过级数收敛条件确定收敛域，不能通过X(z)的表达式确定。
例子：
x1[n]=anu[n],x2[n]=−anu[−n−1]的z变换都是X(z)=zz−a，但前者收敛域为|z|>|a|，后者为|z|<|a|.
逆变换
x[n]=Z−1{X(z)}=12πj∮CX(z)zn−1dz
其中C是在收敛域中的包含原点的逆时针封闭曲线。
可以通过傅里叶逆变换推导出来按C是以原点为中心的圆来计算，然后利用复变函数性质得到C可以是任意封闭曲线？
不通过围道积分，可通过有理分式展开以及幂级数展开求逆变换。
性质
用于LTI系统
响应由卷积和表示
(1)y[n]=x[n]∗h[n]≜∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]
其中h[n]为单位冲激响应。
对(1)两边取z变换，由卷积性质，得：
Y(z)=X(z)H(z)
其中
H(z)=∑n=−∞+∞h[n]z−n
为系统函数，是冲激响应的z变换。
|z|=1时，z=ejω，
H(ejω)=∑n=−∞+∞h[n]e−jωn
称为系统的频率响应。
如果h[n]为实数，那么易见H(e−jω)=H∗(ejω)，因此幅频响应为（ω的）偶函数，相频响应为奇函数。
若输入序列为x[n]=zn，那么：
y[n]=x[n]∗h[n]=H(z)zn
因此zn是特征函数。
因果性
和连续系统一样，因果系统要求满足：
h[n]=0,n<0
将n<0时为零的信号称为因果信号。
可以通过H(z)的收敛域来判断系统是否因果。
稳定性
要求极点在单位圆内。
单边z变换
X(z)≜∑n=0+∞x[n]z−n
其收敛域总位于某个圆（极点最大模值的圆？）的外边。
