大家好，我是程序员学长~
今天，我们来聊一道微软的校招算法题，如何对矩阵进行顺时针旋转~
问题描述
有一个 NxN 的整数矩阵，请编写一个算法，将矩阵顺时针旋转90度。
要求：时间复杂度O(N^2)，空间复杂度是O(N^2)。
进阶：时间复杂度是O(N^2)，空间复杂度是O(1)。
示例：
[ [
[ 5, 1, 9,11], [15,13, 2, 5],
[ 2, 4, 8,10], 旋转90度后 [14, 3, 4, 1],
[13, 3, 6, 7], ============> [12, 6, 8, 9],
[15,14,12,16] [16, 7,10,11]
] ]
分析问题
对于矩阵中的第一行元素来说，在经过90度旋转后，出现在了倒数第一列的位置上，如下图所示。
并且，第一行的第 i 个元素在旋转后恰好是倒数第一列的第 i 个元素。对于第二行的元素也是如此，在旋转后变成倒数第二列的元素，并且第二行的第i个元素在旋转后恰好是倒数第二列的第i个元素。所以，我们可以得出规律，对于矩阵中第 i 行的第 j 个元素，在旋转后，它出现在倒数第 i 列的第 j 个位置，即对于矩阵中的 matrix[i] [j] 元素，在旋转后，它的新位置为 matrix [j] [n-i-1]。所以，我们申请一个大小为 N * N 的新矩阵，来临时存储旋转后的结果。我们通过遍历matrix中的所有元素，根据上述规则将元素存放到新矩阵中的对应位置。在遍历完成后，再将新矩阵中的元素复制到原矩阵即可。下面我们来看一下代码的实现。
class Solution(object):
def rotate(self, matrix):
"""
:type matrix: List[List[int]]
:rtype: None Do not return anything, modify matrix in-place instead.
"""
#矩阵的大小
n = len(matrix)
#申请一个辅助矩阵
temp = [[0] * n for _ in range(n)]
#遍历矩阵中的所有元素，放到辅助矩阵的相应位置中
for i in range(n):
for j in range(n):
temp[j][n - i - 1] = matrix[i][j]
#将辅助矩阵复制给矩阵
matrix[:] = temp
该算法的时间复杂度是O(N^2)，空间复杂度也是O(N^2)。
进阶
那我们如何在不使用辅助空间的情况下，实现矩阵的原地旋转呢？我们来看一下上个方法中为什么要引入辅助空间，对于matrix中的元素，我们使用公式temp[j] [n - i - 1] = matrix[i] [j]进行旋转，如果不申请辅助矩阵，我们直接把元素 matrix[i] [j]，放到矩阵 matrix[j] [n - i - 1]位置，原矩阵中的matrix[j] [n - i - 1]元素就被覆盖了，这显然不是我们想要的结果。我们考虑通过如下方法来求解。
当知道了如何原地旋转矩阵之后，这里还有一点需要明确：我们应该选取哪些位置进行上述的原地交换操作呢？通过上面的分析可以知道，一次可以原地交换四个位置，所以：
- 当n为偶数时，我们需要选取 n^2 / 4 = (n/2) * (n/2)个元素进行原地交换操作，可以将该图形分为四块，从而保证不重复、不遗漏旋转所有元素。
- 当n为奇数时，由于中心位置的元素经过旋转后位置不变，所以我们需要选取 (n^2-1)/4=(n-1)/2 * (n+1) /2个元素进行原地交换操作，我们以5 * 5的矩阵为例，可以按照以下方式划分，进而保证不重复、不遗漏的旋转所有元素。
小插曲：你有没有发现这个图很像微软的logo呢，这也许就是微软常考这道题的原因吧~
下面我们来看一下代码的实现。
class Solution(object):
def rotate(self, matrix):
#矩阵的大小
n = len(matrix)
for i in range(n // 2):
for j in range((n + 1) // 2):
#进行一轮原地旋转，旋转4个元素
temp = matrix[i][j]
matrix[i][j] = matrix[n - j - 1][i]
matrix[n - j - 1][i] = matrix[n - i - 1][n - j - 1]
matrix[n - i - 1][n - j - 1] = matrix[j][n - i - 1]
matrix[j][n - i - 1] = temp
该算法的时间复杂度是O(n^2)，空间复杂度是O(1)。
啰嗦一句
到此为止，我们就把这道题聊完了，如果喜欢，记得给个三连吧。
你知道的越多，你的思维越开阔。我们下期再见。
