作者：senntyou
声明：需要读者对二进制有一定的了解
对于 JavaScript 开发者来说，或多或少都遇到过 js 在处理数字上的奇怪现象，比如：
-
> 0.1 + 0.2 -
0.30000000000000004 -
> 0.1 + 1 - 1 -
0.10000000000000009 -
> 0.1 * 0.2 -
0.020000000000000004 -
> Math.pow(2, 53) -
9007199254740992 -
> Math.pow(2, 53) + 1 -
9007199254740992 -
> Math.pow(2, 53) + 3 -
9007199254740996
如果想要弄明白为什么会出现这些奇怪现象，首先要弄清楚 JavaScript 是怎样编码数字的。
1. JavaScript 是怎样编码数字的
JavaScript 中的数字，不管是整数、小数、分数，还是正数、负数，全部是浮点数，都是用 8 个字节（64 位）来存储的。
一个数字（如 12、 0.12、 -999）在内存中占用 8 个字节（64 位），存储方式如下：
-
0-51：分数部分（52 位） -
52-62：指数部分（11 位） -
63：符号位（1 位：0 表示这个数是正数，1 表示这个数是负数）
符号位很好理解，用于指明是正数还是负数，且只有 1 位、两种情况（0 表示正数，1 表示负数）。
其他两部分是分数部分和指数部分，用于计算一个数的绝对值。
1.1 绝对值计算公式
-
1: abs = 1.f * 2 ^ (e - 1023) 0 < e < 2047 -
2: abs = 0.f * 2 ^ (e - 1022) e = 0, f > 0 -
3: abs = 0 e = 0, f = 0 -
4: abs = NaN e = 2047, f > 0 -
5: abs = ∞ (infinity, 无穷大) e = 2047, f = 0
说明：
- 这个公式是二进制的算法公式，结果用
abs 表示，分数部分用f表示，指数部分用e表示 -
2^(e-1023) 表示2的e-1023次方 - 因为分数部分占 52 位，所以
f 的取值范围为00...00（中间省略 48 个 0） 到11...11（中间省略 48 个 1） - 因为指数部分占 11 位，所以
e 的取值范围为0（00000000000） 到2047（11111111111）
从上面的公式可以看出：
-
1 的存储方式：1.00*2^(1023-1023)（f=0000...,e=1023，...表示 48 个 0） -
2 的存储方式：1.00*2^(1024-1023)（f=0000...,e=1024，...表示 48 个 0） -
9 的存储方式：1.01*2^(1025-1023)（f=0100...,e=1025，...表示 48 个 0） -
0.5 的存储方式：1.00*2^(1022-1023)（f=0000...,e=1022，...表示 48 个 0） -
0.625 的存储方式：1.01*2^(1021-1023)（f=0100...,e=1021，...表示 48 个 0）
1.2 绝对值的取值范围与边界
从上面的公式可以看出：
1.2.1 0<e<2047
当 0<e<2047 时，取值范围为： f=0,e=1 到 f=11...11,e=2046（中间省略 48 个 1）
即： Math.pow(2,-1022) 到 ~=Math.pow(2,1024)-1（ ～= 表示约等于）
这当中， ~=Math.pow(2,1024)-1 就是 Number.MAX_VALUE 的值， js 所能表示的最大数值。
1.2.2 e=0,f>0
当 e=0,f>0 时，取值范围为： f=00...01,e=0（中间省略 48 个 0） 到 f=11...11,e=0（中间省略 48 个 1）
即： Math.pow(2,-1074) 到 ~=Math.pow(2,-1022)（ ～= 表示约等于）
这当中， Math.pow(2,-1074) 就是 Number.MIN_VALUE 的值， js 所能表示的最小数值（绝对值）。
1.2.3 e=0,f=0
这只表示一个值 0，但加上符号位，所以有 +0 与 -0。
但在运算中：
-
> +0 === -0 -
true
1.2.4 e=2047,f>0
这只表示一种值 NaN。
但在运算中：
-
> NaN == NaN -
false -
> NaN === NaN -
false
1.2.5 e=2047,f=0
这只表示一个值 ∞ (infinity, 无穷大)。
在运算中：
-
> Infinity === Infinity -
true -
> -Infinity === -Infinity -
true
1.3 绝对值的最大安全值
从上面可以看出，8 个字节能存储的最大数值是 Number.MAX_VALUE 的值，也就是 ~=Math.pow(2,1024)-1。
但这个数值并不安全：从 1 到 Number.MAX_VALUE 中间的数字并不连续，而是离散的。
比如： Number.MAX_VALUE-1, Number.MAX_VALUE-2 等数值都无法用公式得出，就存储不了。
所以这里引出了最大安全值 Number.MAX_SAFE_INTEGER，也就是从 1 到 Number.MAX_SAFE_INTEGER 中间的数字都是连续的，处在这个范围内的数值计算都是安全的。
当 f=11...11,e=1075（中间省略 48 个 1）时，取得这个值 111...11（中间省略 48 个 1），即 Math.pow(2,53)-1。
大于 Number.MAX_SAFE_INTEGER：Math.pow(2,53)-1 的数值都是离散的。
比如： Math.pow(2,53)+1, Math.pow(2,53)+3 不能用公式得出，无法存储在内存中。
所以才会有文章开头的现象：
-
> Math.pow(2, 53) -
9007199254740992 -
> Math.pow(2, 53) + 1 -
9007199254740992 -
> Math.pow(2, 53) + 3 -
9007199254740996
因为 Math.pow(2,53)+1 不能用公式得出，就无法存储在内存中，所以只有取最靠近这个数的、能够用公式得出的其他数， Math.pow(2,53)，然后存储在内存中，这就是失真，即不安全。
1.4 小数的存储方式与计算
小数中，除了满足 m/(2^n)（ m,n 都是整数）的小数可以用完整的 2 进制表示之外，其他的都不能用完整的 2 进制表示，只能无限的逼近一个 2 进制小数（注： [2] 表示二进制， ^ 表示 N 次方）。
-
0.5 = 1 / 2 = [2]0.1 -
0.875 = 7 / 8 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 = [2]0.111 -
# 0.3 的逼近 -
0.25 ([2]0.01) < 0.3 < 0.5 ([2]0.10) -
0.296875 ([2]0.0100110) < 0.3 < 0.3046875 ([2]0.0100111) -
0.2998046875 ([2]0.01001100110) < 0.3 < 0.30029296875 ([2]0.01001100111) -
... 根据公式计算，直到把分数部分的 52 位填满，然后取最靠近的数 -
0.3 的存储方式：[2]0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011 -
(f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110011, e = 1021)
从上面可以看出，小数中大部分都只是近似值，只有少部分是真实值，所以只有这少部分的值（满足 m/(2^n) 的小数）可以直接比较大小，其他的都不能直接比较。
-
> 0.5 + 0.125 === 0.625 -
true -
> 0.1 + 0.2 === 0.3 -
false
为了安全的比较两个小数，引入 Number.EPSILON[Math.pow(2,-52)] 来比较浮点数。
-
> Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < Number.EPSILON -
true
1.5 小数最大保留位数
js 从内存中读取一个数时，最大保留 17 位有效数字。
-
> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011 -
0.30000000000000000 -
0.3 -
> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110010 -
0.29999999999999993 -
> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100 -
0.30000000000000004 -
> 0.0000010100011110101110000101000111101011100001010001111100 -
0.020000000000000004
2. Number 对象中的常量
2.1 Number.EPSILON
表示 1 与 Number 可表示的大于 1 的最小的浮点数之间的差值。
-
Math.pow(2, -52)
用于浮点数之间安全的比较大小。
2.2 Number.MAXSAFEINTEGER
绝对值的最大安全值。
-
Math.pow(2, 53) - 1
2.3 Number.MAX_VALUE
js 所能表示的最大数值（8 个字节能存储的最大数值）。
-
~= Math.pow(2, 1024) - 1
2.4 Number.MINSAFEINTEGER
最小安全值（包括符号）。
-
-(Math.pow(2, 53) - 1)
2.5 Number.MIN_VALUE
js 所能表示的最小数值（绝对值）。
-
Math.pow(2, -1074)
2.6 Number.NEGATIVE_INFINITY
负无穷大。
-
-Infinity
2.7 Number.POSITIVE_INFINITY
正无穷大。
-
+Infinity
2.8 Number.NaN
非数字。
3. 寻找奇怪现象的原因
3.1 为什么 0.1+0.2 结果是 0.30000000000000004
与 0.3 的逼近算法类似。
-
0.1 的存储方式：[2]0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010 -
(f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1019) -
0.2 的存储方式：[2]0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010 -
(f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1020) -
0.1 + 0.2: 0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111 -
(f = 00110011001100110011001100110011001100110011001100111, e = 1021)
但 f=00110011001100110011001100110011001100110011001100111 有 53 位，超过了正常的 52 位，无法存储，所以取最近的数：
-
0.1 + 0.2: 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100 -
(f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110100, e = 1021)
js 读取这个数字为 0.30000000000000004
3.2 为什么 Math.pow(2,53)+1 结果是 Math.pow(2,53)
因为 Math.pow(2,53)+1 不能用公式得出，无法存储在内存中，所以只有取最靠近这个数的、能够用公式得出的其他数。
比这个数小的、最靠近的数：
-
Math.pow(2, 53) -
(f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000000, e = 1076)
比这个数大的、最靠近的数：
-
Math.pow(2, 53) + 2 -
(f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000001, e = 1076)
取第一个数： Math.pow(2,53)。
所以：
-
> Math.pow(2, 53) + 1 === Math.pow(2, 53) -
true
参考文章
- How numbers are encoded in JavaScript
- JavaScript是怎样编码数字的
后续
更多博客，查看 https://github.com/senntyou/blogs
作者：【深予之 (@senntyou)】(https://github.com/senntyou)
版权声明：自由转载-非商用-非衍生-保持署名（创意共享3.0许可证）
