伴随矩阵A*

伴随矩阵的定义：

1. 定义中的注意点

1. 定义矩阵A是​方阵​。
2. ​余子式​：伴随矩阵的每个元素的余子式是除去当前元素行列，剩下的元素构成的行列式。
3. ​代数余子式​：取行列式的值，符号由当前行标和列标的值决定（-1的i+j次幂）。
4. ​位置关系​为转置。
   

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2. 伴随矩阵的计算实例

例1：求矩阵A的伴随矩阵，其中矩阵A的行列式

A n ∗ n = ∣ 1 2 − 1 3 1 0 − 1 − 1 − 2 ∣ \mathbf{A}_{n*n} = \begin{vmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{-1} \\ \mathbf{3} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{-1} & \mathbf{-1} & \mathbf{-2} \\ \end{vmatrix} An∗n=∣∣∣∣∣∣13−121−1−10−2∣∣∣∣∣∣

解答：求解余子式

a11的余子式：

A 11 = ∣ 1 0 − 1 − 2 ∣ \mathbf{A}_{11} = \begin{vmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{-1} & \mathbf{-2} \\ \end{vmatrix} A11​=∣∣∣∣​1−1​0−2​∣∣∣∣​

a11代数余子式：

A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 1 ∗ ( − 2 ) − 0 ∗ ( − 1 ) ∣ = − 2 \mathbf{A}_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1*(-2)-0*(-1) \end{vmatrix}=-2 A11​=(−1)1+1∣∣​1∗(−2)−0∗(−1)​∣∣​=−2

A的伴随矩阵A* =

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3. 应用之求解方程组的解

求解线性方程组的解。

求解有：

根据矩阵性质：

注意：​​可逆矩阵以及可逆矩阵的性质​​。

总结：

1. 掌握伴随矩阵的求法；
2. 学会通过求解伴随矩阵，完成对可逆矩阵的计算；
3. 会应用伴随矩阵求可逆矩阵，从而求解方程组；
4. 掌握基础原里，解决实际问题，应用创新。