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1 题目

年会抽奖
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题目描述
今年公司年会的奖品特别给力，但获奖的规矩却很奇葩：

  1. 首先，所有人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
  2. 待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
  3. 如果抽到的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”
    现在告诉你参加晚会的人数，请你计算有多少概率会出现无人获奖？

输入描述:
输入包含多组数据，每组数据包含一个正整数n（2≤n≤20）。

输出描述:
对应每一组数据，以“xx.xx%”的格式输出发生无人获奖的概率。

输入例子:
2

输出例子:
50.00%

2 解析

2.1 题意

见题目

2.2 思路

错排问题，推导如下,
若前n-1个数已经满足错排，现考虑第n个数：
（1）第n个数可以和前n-1个中任意一个数互换，结果仍然是错排，所以有(n-1)*D(n-1)种；
（2）第n个数可以放到前n-1任意一个位置，但是原来位置的数不能放到最后，
则其只可以能放在其他n-2个位置，并且保证这n-2的位置是错排，所以有(n-1)*D(n-2)

综上，一共有 D(n) =（n-1）*(D(n-1)+D(n-2))

例如：
经典的装错信封问题
用A、B、C……表示写着ｎ位友人名字的信封，a、b、c……表示ｎ份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作D(n)。假设把ａ错装进Ｂ里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：
(1)b装入Ａ里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有D(n－2)种错装法。
(2)ｂ装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n－1份信纸ｂ、ｃ……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有D(n－1)种。
总之在ａ装入B的错误之下，共有错装法D(n－2)＋D(n－1)种。
a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有D(n－1)＋D(n－2)种错装法，因此D(n)＝(n－1)[D(n－1)＋D(n－2)]

因此得错排公式:D(n)＝(n－1)[D(n－1)＋D(n－2)]，D[0] = 1,D[1] = 0,D[2] = 1。

3 参考代码

#include 
#include 

typedef long long ll;

const int MAXN = 21;
ll fac[MAXN] = {1, 1, 2};
ll f[MAXN] ={1, 0, 1};

int main()
{
    int n;
    for (int i = 3; i < MAXN; ++i) {
        fac[i] = fac[i - 1]*i;
        f[i] = (i - 1) * (f[i-1] + f[i -2]);
    }

    while (~scanf("%d",&n))
    {
        double ans = (1.0*f[n]) / fac[n] * 100;
        printf("%2.2f%%\n", ans);
    }
    return 0;
}