线性代数基础

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小嘉欣 2019-06-12 17:52:10

文章标签 线性代数 文章分类 代码人生

【转载】线性代数基础知识原文地址：http://blog.csdn.net/longxinchen_ml/article/details/51629328

作者：Zico Kolter (补充： Chuong Do)

时间：2016年6月

翻译：@MOLLY（mollyecla@gmail.com） @OWEN（owenj1989@126.com）

校正：@寒小阳(hanxiaoyang.ml@gmail.com) @龙心尘(johnnygong.ml@gmail.com)

出处：http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/51629242

http://blog.csdn.net/longxinchen_ml/article/details/51629328

1基本概念和符号线性代数可以对一组线性方程进行简洁地表示和运算。例如，对于这个方程组:

这里有两个方程和两个变量，如果你学过高中代数的话，你肯定知道，可以为x1 和x2找到一组唯一的解 (除非方程可以进一步简化，例如，如果第二个方程只是第一个方程的倍数形式。但是显然上面的例子不可简化，是有唯一解的)。在矩阵表达中，我们可以简洁的写作:

其中：

很快我们将会看到，咱们把方程表示成这种形式，在分析线性方程方面有很多优势(包括明显地节省空间)。

1.1基本符号以下是我们要使用符号:

符号A ∈ Rm×n表示一个m行n列的矩阵，并且矩阵A中的所有元素都是实数。符号x ∈ Rn表示一个含有n个元素的向量。通常，我们把n维向量看成是一个n行1列矩阵，即列向量。如果我们想表示一个行向量（1行n列矩阵），我们通常写作xT (xT表示x的转置，后面会解释它的定义)。一个向量x的第i个元素表示为xi：我们用aij (或Aij，Ai，j，等) 表示第i行第j列的元素：我们用aj 或A:，j表示A矩阵的第j列元素：我们用aT i或 Ai，:表示矩阵的第i行元素:

请注意，这些定义都是不严格的（例如，a1和a1T在前面的定义中是两个不同向量）。通常使用中，符号的含义应该是可以明显看出来的。 2 矩阵乘法矩阵 A ∈ Rm×n 和B ∈ Rn×p 的乘积为矩阵：其中： .请注意，矩阵A的列数应该与矩阵B的行数相等，这样才存在矩阵的乘积。有很多种方式可以帮助我们理解矩阵乘法，这里我们将通过一些例子开始学习。

2.1向量的乘积给定两个向量x，y ∈ Rn，那么xT y的值，我们称之为向量的内积或点积。它是一个由下式得到的实数：

可以发现，内积实际上是矩阵乘法的一个特例。通常情况下xT y = yT x。

对于向量x ∈ Rm， y ∈ Rn（大小不必相同），xyT ∈ Rm×n称为向量的外积。外积是一个矩阵，其中中的每个元素，都可以由得到，也就是说，我们举个例子说明外积有什么用。令1 ∈ Rn 表示所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵 A ∈ Rm×n 的每一列都用列向量x ∈ Rm表示。使用外积，我们可以将A简洁的表示为：